作业习题
第一章 量子力学基础知识
一、概念题
1、几率波：空间一点上波的强度和粒子出现的几率成正比，即，微粒波的强度
反映粒子出现几率的大小，故称微观粒子波为几率波。 2、测不准关系：一个粒子不能同时具有确定的坐标和动量
?作用于某一状态函数?后，3、若一个力学量A的算符A等于某一常数a乘以?，
???a?，那么对?所描述的这个微观体系的状态，其力学量A具有即，A?的本征值，?称为A?的本征态或本征波确定的数值a，a称为力学量算符A?的本征方程。 ???a?称为A函数，式A4、态叠加原理：若?1,?2,?3,????,?n为某一微观体系的可能状态，由它们线性组
合所得的?也是该体系可能存在的状态。其中：
??c1?1?c2?2?c3?3????????cn?n??ci?i，式中c1,c2,c3,???,cn为任意常
i数。
5、Pauli原理：在同一原子轨道或分子轨道上，至多只能容纳两个电子，这两个
电子的自旋状态必须相反。或者说两个自旋相同的电子不能占据相同的轨道。
6、零点能：按经典力学模型，箱中粒子能量最小值为0，但是按照量子力学箱中粒子能量的最小值大于0，最小的能量为h2/8ml2，叫做零点能。 二、选择题
1、下列哪一项不是经典物理学的组成部分？ ( )
a. 牛顿(Newton)力学 b. 麦克斯韦(Maxwell)的电磁场理论 c. 玻尔兹曼(Boltzmann)的统计物理学 d. 海森堡(Heisenberg)的测不准关系 2、下面哪种判断是错误的？( )
a. 只有当照射光的频率超过某个最小频率时，金属才能发身光电子
b. 随着照射在金属上的光强的增加，发射电子数增加，但不影响光电子的动能
c. 随着照射在金属上的光强的增加，发射电子数增加，光电子的动能也随之增加
d. 增加光的频率，光电子的动能也随之增加
3、根据Einstein的光子学说，下面哪种判断是错误的？( )
a. 光是一束光子流，第一种频率的光的能量都有一个最小单位，称为光子
b. 光子不但有能量，还有质量，但光子的静止质量不为0 c. 光子具有一定的动量
d. 光的强度取决于单位体积内光子的数目，即，光子密度
4、根据de Broglie关系式及波粒二象性，下面哪种描述是正确的？( ) a. 光的波动性和粒子性的关系式也适用于实物微粒
b. 实物粒子没有波动性 c. 电磁波没有粒子性
d. 波粒二象性是不能统一于一个宏观物体中的 5、下面哪种判断是错误的？( ) a. 机械波是介质质点的振动
b. 电磁波是电场和磁场的振动在空间的传播 c. 实物微粒波的强度反映粒子出现的几率的大小
d. 实物微粒波的强度反映粒子出现的几率的大小，也反映了粒子在空间振动的强度
6、下面对宏观物体和微观粒子的比较哪一个是不正确的？( )
a. 宏观物体同时具有确定的坐标和动量，可用牛顿力学描述，而微观粒子
没有同时确定的位置和动量，需用量子力学描述
b. 宏观物体有连续可测的运动轨道，可追踪各个物体的运动轨迹加以分辨；微观粒子具有几率分布特性，不可能分辨出各个粒子的轨道。
c. 宏观物体可处于任意的能量状态，而微观粒子只能处于某些确定的能量状态
d. 测不准关系只能应用于微观粒子，对宏观物体无实际意义，但不能用测不
准关系作为宏观与微观粒子的判别标准
7、用量子力学方法处理一维势箱所得的正确结果是：( )
n2h2n2h2n?x2n?xa. ?n(x)? b. ?n(x)? sin(), E?sin(), E?22llll8ml8mlc. ?n(x)?n2h22n2?x d. ?n(x)?sin(), E?2ll8mln2h2n2?x sin(), E?2ll8ml8、下面哪一个不是由量子力学处理箱中粒子所得的受势能场束缚粒子共同特性？( )
a. 能量量子化 b. 存在零点能
c. 没有经典运动轨道，只有几率分布 d. 存在节点，但节点的个数与能量无关
9、下列条件下是品优函数的必备条件的是：
a. 连续 b. 单值 c. 归一 d. 有限或平方可积 10、粒子处于定态意味着：
a. 粒子处于概率最大的状态 b. 粒子处于势能为0的状态 c. 粒子的力学量平均值及概率密度分布都与时间无关的状态 d. 粒子处于静止状态
答案 1. d; 2. c; 3. b; 4. a; 5. d; 6. d; 7. a; 8. d; 9.c; 10.c; 三、
1、将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长?＝670.8 nm，这是Li原子由电子组态
(1s)2(2p)1?(1s)2(2s)1跃迁时产生的，试计算该红光的频率，波数及以
kJ?mol?1为单位的能量。
解：
2.998?108m?s?1?4.469?1014s?1 ????670.8nmc1~?1??1.491?104cm?1 ??7?670.8?10cm E?h?N?6.626?10?34J?s?4.469?1014s?1?6.023?1023mol?1
14kJ?mo?l ?17.8
2、一个100W的钠蒸气灯发射波长为590.0 nm的黄光，计算每秒发射的光子数。
解：设该钠气灯1秒促发射的总能量为E，每个光子的能量为?，1秒钟发
射的光子数为n，则：
E?n??nh??nhc?
E?100W?1s?590.0?10?9m20n???2.97?10 ?348?1hc6.626?10J?s?2.998?10m?s3、计算下述粒子的德布罗意波的波长
(A) 质量为10－10kg，运动速度为0.01m?s?1的尘埃 (B) 动能为0.1 eV的中子 (C) 动能为300 eV的自由电子
(A) (B)
h???ph2mT?6.626?10?34J?s2?1.675?10?27h6.626?10?34J?s????10?6.626?10?22m ?1mv10kg?0.01m?skg?0.1eV?1.602?10?19J?(eV)?1
?9.034?10?11m
h (C) ???ph2meV?6.626?10?34J?s2?9.109?10?31kg?1.602?10?19C?300V
?7.08?10?11m
4、子弹(质量0.01 kg，速度100m?s?1)、尘埃(质量10－9 kg，速度10m?s?1)、作布朗运动的花粉(质量10－13 kg，速度1m?s?1)、原子中电子(质量0.91×10－30 kg，速度1000m?s?1)等，速度的不确定度均为10％，判断在确定这些位置时，测不准关系是否有实际意义？
解：按照测不准关系式，诸粒子坐标的不确定度分别为：
h6.626?10?34J?s子弹：?x? ??1m??v0.01kg?1000?10%m?s ?6.63?10?34m
h6.626?10?34J?s尘埃：?x? ?m??v10?9kg?10?10%m?s?1 ?6.63?10?25m
h6.626?10?34J?s花粉：?x? ?m??v10?13kg?1?10%m?s?1 ?6.63?10?20m
h6.626?10?34J?s电子：?x? ??31?1m??v9.109?10kg?1000?10%m?s ?7.27?10?6m
由计算结果可见，前三者的坐标不确定度与它们各自的大小相比可以忽略。换言之，由测不准关系所决定的坐标不确定度远远小实际测量的精度。即使质量最小、运动最慢的花粉，由测不准关系所决定的?x也是微不足道的。此即意味着，子弹、尘埃和花粉运动中的波性可完全忽略，其坐标和动量能同时确定，测不准关系对所讨论的问题实际上不起作用。而原子中的电子的情况截然不同。由测不准关系所决定的坐标不确定度远远大于原子本身的大小(原子大小数量级一般为几十到几百个pm)，显然是不能忽略的，即电子在运动中的波动效应不能忽略，其运动规律服从量子力学，测不准关系对讨论的问题有实际意义。由此可见，测不准关系为检验和判断经典力学适用的场合和限度提供了客观标准。凡是可以把Planck常数看作0的场合者是量子场合，微粒的运动规律必须用量子力学处理。
5、电视机显像管中运动的电子，假定加速电压为1000V，电子运动速度的不确定度??为?的10％，判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？ 解：
在给定加速电压下，由测不准关系所决定的电子坐标的不确定度为：
?x? ?hh??m??vm?2eV/m?10%6.626?10?34J?s?102?9.109?10?31h2meV?10%?193
kg?1.602?10C?10V
?3.88?10?10m
由此可见，坐标的不确定度对于电视机(即使目前世界上尺寸最小的袖珍电视机)荧光屏的大小来说，完全可以忽略。人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。 6、请指出下列算符中的线性算符。
dd2,,log,sin, x, 2dxdx
解：