第二讲 导数及其应用
考纲要求
1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系.
2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.
3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.
4.会求分段函数的导数.会求隐函数和由参数方程确定的函数以及反函数的导数.
5.理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理,了解并会用柯西（Cauchy）中值定理.
6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.
7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数的极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单的应用.
8.会用导数判断函数图形的凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线. 9.了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径. 一、导数与微分
问题1 叙述导数、微分的定义与几何意义
答 1.导数的定义 函数y?f(x)在点x0处的导数
f?(x0)?limf(x0??x)?f(x0)f(x)?f(x0)?y. ?lim?lim?x?0?x?x?0x?x0?xx?x0f(x0??x)?f(x0)，
?x?0?xf(x0??x)?f(x0)函数y?f(x)在点x0处右导数f??(x0)?lim+，
?x?0?x函数y?f(x)在点x0处左导数f??(x0)?lim-函数y?f(x)在点x0处可导?f??(x0)?f??(x0)；
导数的几何意义：若函数y?f(x)在点x0处可导，则f?(x0)表示曲线y?f(x)在点
M(x0,y0)（其中y0?f(x0)）处的切线的斜率，曲线y?f(x)在点M(x0,y0)处的切线的
方程为
y?f(x0)?f?(x0)(x?x0).
2.微分的定义 设y?f(x)，如果?y?A?x?o(?x)，则称函数f(x)在点x可微，并称dy?A?x为f(x)在点x的微分.当f(x)在点x可微时，有dy?f?(x)?x?f?(x)dx.
当?y是曲线上的点的纵坐标的增量时，dy就是曲线的切线上的点的纵坐标的相应增量.
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3. 函数y?f(x)在点x0处有极限、连续、可导、可微的关系是
有极限 ? 连续 ? 可导 ? 可微 例
f(x0?h)?f(x0?h)存在有何关系？
h?0hf(1?cosh)?f(0)2.函数y?f(x)在点x?0处可导与极限lim存在有何关系？
h?0h21.函数y?f(x)在点x0处可导与极限lim
问题2 如何求曲线的切线？ 答 关键是求出切点和斜率. 例
1.曲线y?lnx上与直线x?y?1垂直的切线方程为 .（y?x?1，04-1） 2.设函数y?f(x)由方程xy?2lnx?y4所确定，则曲线y?f(x)在点 (1,1)处的切线方程为 .（x?y?0，03-2）
3.设f(x)在x?0连续，且limx?0f(x)?1，则曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方x程为 .【y?x】
问题3 叙述求导公式与法则.
答 1.基本初等函数导数公式（16个） ⑴(C)??0 ⑵(x)???xxx⑷(e)??e ⑸(logax)?????1 ⑶(a)??alna
xx11 ⑹(lnx)?? xlnax2⑺(sinx)??cosx ⑻(cosx)???sinx ⑼(tanx)??secx ⑽(cotx)???cscx ⑾(secx)??secxtanx ⑿(cscx)???cscxcotx ⒀(arcsinx)??211?x2 ⒁(arccosx)???11?x2 ⒂(arctanx)??2.求导法则
11?(arccotx)?? ⒃ 221?x1?x定理1 （函数的四则运算的求导法则） 设u?u(x),v?v(x)在点x可导，则它们的和、差、积、商在点x可导，且
⑴(u(x)?v(x))??u?(x)?v?(x)；
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⑵(u(x)v(x))??u?(x)v(x)?u(x)v?(x)； ⑶(cu(x))??cu?(x)；
?u(x)??u?(x)v(x)u(x)v?(x)⑷?，(v(x)?0) ??2v(x)v(x)??定理2 （反函数的导数） 若函数x??(y)在区间Iy内单调可导，且导数??(y)?0，则它的反函数y?f(x)在对应区间Ix内单调可导，且f?(x)?1. ??(y)定理3 （复合导数求导法则） 若u??(x)在点x处可导，y?f(u)在点u??(x)处可导,则复合函数y?f[?(x)]在点x处可导，且
dydydu???f?(u)???(x). dxdudx注 使用复合函数求导法则的步骤： ⑴将函数读作u的基本初等函数； ⑵对u求导，乘以u对x的导数.
定理4（莱布尼茨公式）
(uv)(n)k(k)(n?k). ??Cnuvk?0n问题5 如何求各类函数的导数（或者微分）
答 求导运算是最基本的运算，也是考试中涉及最多的运算，读者必须熟练掌握求导公式、求导法则（四则运算法则、复合函数求导法则）以及各种函数的一、二阶导数的求法：
⑴初等函数（正确使用求导公式与法则） ⑵分段函数（分段点必须用定义求导） ⑶隐函数（两边求导法、公式法）
d?dy?dy?dydtd2ydt?dx??⑷参数方程确定的函数（利用导数公式：，2?） ?dxdxdxdxdtdt⑸抽象函数（正确使用导数记号，注意f?(x)和[f(x)]?的区别） ⑹幂指函数（对数求导法） ⑺反函数（导数公式：例
22dx1?） dyy?18
1.y?ln(x?1?x2)，求y???x?3. (
5) 32解 【熟练掌握复合函数求导法则】
y??1x?1?x2(1?2x21?x2)?11?x2?(1?x)，
2?1233??122y????(1?x)2?2x??x(1?x)2，
232535???3222222?x[?(1?x)?2x]??(1?x)?3x(1?x)2，
2y?????(1?x)故y???2?5. x?3323x?2dy),f?(x)?arctanx2,，则2.设y?f(3x?2dx?解
x?0? .
dy3x?23(3x?2)?3(3x?2)3x?2212?f?()??arctan()?， dx3x?2(3x?2)23x?2(3x?2)2x?0dydx
?3?. 43.设y?1?xey，求y?解 【用两边求导法】
x?0,y??x?0.
方程y?1?xe两边对x求导，得y??e?xe?y? ⑴ 将x?0,y?1代入⑴，得y?⑴式两边对x求导，得
x?0yyy?e；
y???eyy??ey?y??xey?(y?)2?xeyy??，⑵
将x?0,y?1,y??e代入⑵，得. y??4.设y?y(x)由xy2x?0?2e2.
dy. dx?y2lnx?4?0所确定，求
解 【用隐函数求导公式】
y?y(x)由F(x,y)?xy?y2lnx?4?0确定，
2Fxdyy(y2xy?2y2lnxlny)????y2??. 2lnx?12y22lnxdxFyxlnx?2y?2lnx?y2xlnx(yx?y)
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y2xy2?1?y2lnxlny?2x2d2y5.设f二阶可导，且f??(x)?0，x?f?(t),y?tf?(t)?f(t)，求 . 2dx解 【用参数式求导公式】
dyddy()2dydtf?(t)?tf??(t)?f?(t)dydtdx1. ???t，2??dxdxdxf??(t)dxf??(t)dtdt6.设y?f(x)与x??(y)互为反函数，且y?f(x)三阶可导，试用y?,y??,y???表示
d2xd3x,3. 2dydy解 【利用反函数求导公式和复合函数求导法则】
dx1? ， dyy?d2x1dxy??上式两边对y求导，2??2y?????3；
dyy?dyy?d3xy???y?3?y???3y?2y??dx3y??2?y?y???上式两边再对y求导，3??. ??dyy?6dyy?5y?17.已知函数f(u)具有二阶导数，且f?(0)?1，函数y?y(x)由方程y?xe?1所确
d2zdz定，设z?f(lny?sinx)，求，
dxx?0dx2解
.（07-2）
x?0?dzy?f?(lny?sinx?)(?dxycxos )，
d2zy?y??y?y?222???， ?f(lny?sinx)?(?cosx)?f(lny?sinx)?(?sinx)22dxyy方程y?xey?1?1两边对x求导，得y??ey?1?xey?1y??0，⑴
将x?0,y?1代入⑴式，得y?(0)?1 ⑴式两边对x求导，得
y???ey?1y??ey?1y??xey?1y?2?xey?1y???0，⑵
将x?0,y?1,y??1代入⑵式，得y??(0)?2，
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