定理3（柯西中值定理） 设f?x?,g(x)在?a,b?上连续，在?a,b?内可导，且g?(x)?0， 则至少存在一点???a,b?，使
f?b??f?a?f?(?). ??g?b??g?a?g(?)例
1.设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，证明：???(a,b)，使
f(?)??f?(?)?bf(b)?af(a)b?a.
【提示：对F(x)?xf(x)用拉格朗日中值定理】
2. 设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)?f(b)?1，证明：
??,??(a,b)，使得e???[f(?)?f?(?)]?1.
3.设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f?(x)?0，证明：
??,??(a,b)，使f?(?)eb?ea??f?(?)?b?ae.
4.设f(x)在[a,b](a?0)上连续，在(a,b)内可导，且f(a)?f(b)?1，证明：??,??(a,b)，使得(?)n?1?f(?)???nf?(?)，其中n?1为正整数.
证 【只要证明：??,??(a,b)，使得n?n?1?n?n?1f(?)??nf?(?)】
对F(x)?xnf(x)在区间[a,b](a?0)上用拉格朗日定理，
n???(a,b)，使得n?n?1?)??nf?(?)?bnf(b)?anf(a)b?anf(b?a?b?a，
对G(x)?xn在区间[a,b](a?0)上用拉格朗日定理，
???(a,b)，使得n?n?1?bn?anb?a， 综上所述，??,??(a,b)，使得(?)n?1??f(?)??nf?(?).
问题15 如何证明（讨论）关于方程的根（函数的零点）问题？
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答 函数的零点（方程的根）是重点，也是常考点，务必通过例题熟练掌握证明（讨论）函数零点问题的方法.
1.零点的存在性证明，即证明存在一点?满足一个等式（用零点定理或者罗尔定理） 基本思路：⑴将等式中的?改为x，得到方程F(x)?0； ⑵验证F(x)是否满足零点定理条件；
⑶若满足，则结论成立，否则将方程改为F?(x)?0； ⑷求出辅助函数F(x)（积分）；
⑸验证Rolle定理条件，从而得出结论.
注 利用罗尔定理证明零点问题，难点是构造辅助函数. 请记住下面的常用结论：
若方程为f(x)?xf?(x)?0，则令F(x)?xf(x)； 若方程为f?(x)??f(x)?0，则令F(x)?f(x)e?x； 若方程为f?(x)?f(x)g?(x)?0，则令F(x)?f(x)eg(x)； 若方程为f(x)?0，且f(x)连续，则令F(x)??f(t)dt. ax
2.惟一性证明
基本思路 先证明存在性，再证明单调性或者先证明存在性，再利用反证法. 3.零点个数的讨论
基本思路 先求单调区间，再用零点定理. 例
1.设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)?0，f(1)?1，f?(x)?1.证明：方程f(x)?x在(0,1)内有且仅有一个实根.
证 【惟一性问题，用零点定理和反证法】 令F(x)?f(x)?x，则F(x)在[0,1]上连续， 且F(0)?f(0)?0?0，F(1)?f(1)?1?0，
由零点定理知，方程F(x)?0即f(x)?x在(0,1)内有一个实根.
若方程f(x)?x在(0,1)内有两个不同的实根x1，x2，即f(x1)?x1，f(x2)?x2， 则由拉格朗日中值定理知，在x1，x2之间存在一点?，使得
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f?(?)?f(x2)?f(x1)x2?x1??1，
x2?x1x2?x1与f?(x)?1矛盾，故方程f(x)?x在(0,1)内有且仅有一个实根.
2.设f(x)在[0,??)上有连续导数，且f?(x)?k?0,f(0)?0,求证f(x)?0在
(0,??)内有且仅有一个实根.（03-3）
【惟一性问题，用零点定理和单调性】
3.设f(x)为[0,1]上有三阶导数，且f(0)?f(1)?0，又F(x)?xf3x()内至少存在一点?使得F???(?)?0.
【存在性问题，三次使用罗尔定理】 4.若
，证明在(0,1)ana?n?1???a0?0，证明方程anxn?an?1xn?1???a0?0在(0,1)内至少n?1n有一个实根.
anxn?1an?1xn????a0x】. 【存在性问题，用罗尔定理，令f(x)?n?1n5.设f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)?f(b)?0，证明：
?c?(a,b)，使f?(c)?f(c)g?(c)?0.
【存在性问题，用罗尔定理，令F(x)?f(x)e
6.设f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内可导，且f(0)?f(1)?f(2)?3,f(3)?1,证明
g(x)】
???(0,3),使f?????0.
【存在性问题，用罗尔定理，关键是由条件f(0)?f(1)?f(2)?3,f(3)?1及介值定理找出罗尔定理的第三个条件.】
7.设f(x)，g(x)在[a,b]上二阶可导，且g??(x)?0,f(a)?f(b)?g(a)?g(b)?0，证明：⑴在(a,b)内，g(x)?0；⑵???(a,b)，使
证 ⑴【用反证法】
f??(?)f(?)?. ??g(?)g(?)28
若存在c?(a,b)，使得g(c)?0，则由罗尔定理知，存在x1?(a,c)，x2?(c,b)，使得g?(x1)?0，g?(x2)?0，从而g?(x)在区间[x1,x2]上满足罗尔定理条件，故存在
x0?(x1,x2)?(a,b)，使得g??(x0)?0，与g??(x)?0矛盾，因此在(a,b)内，g(x)?0.
⑵【存在性问题，即要证???(a,b)，f??(?)g(?)?f(?)g??(?)?0】 令F(x)?f?(x)g(x)?f(x)g?(x)，则F(x)在[a,b]上可导，且
F?(x)?f??(x)g(x)?f(x)g??(x)，F(a)?0，F(b)?0，
由罗尔定理知，???(a,b)，使得F?(?)?0，即f??(?)g(?)?f(?)g??(?)?0. 8.设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，
f(a)?g(a),f(b)?g(b)，证明：存在??(a,b)，使得f??(?)?g??(?).【存在性问题，用
罗尔定理，令F(x)?f(x)?g(x)，关键是找出F(x)在三点函数值相等】
9.设f(x)在[a,b]上有二阶导数，且f(a)?f(b)?0，f?(a)f?(b)?0，证明：
???(a,b)和???(a,b)，使f(?)?0，f??(?)?0.
证 【关键是证明???(a,b)，使f(?)?0，从而有f(a)?f(?)?f(b)?0】 不失一般性，设f?(a)?0，f?(b)?0，则
f(x)?f(a)f(x)?lim??0，由极限的保号性知，存在??0，
x?ax?ax?ax?af(x)?0，取x1?(a,a??)，则f(x1)?0. 当x?(a,a??)时，
x?af?(a)?f??(a)?lim?类似可证有x2?(b??,b)，使得f(x2)?0.
由零点定理知，存在??(x1,x2)?(a,b)，使得f(?)?0.
由罗尔定理知，存在?1?[a,?]和?2?[?,b]，使得f?(?1)?0，f?(?2)?0， 又f?(x)在[?1,?2]上可导，由罗尔定理知，存在??(?1,?2)?(a,b)，使得f??(?)?0. 10.讨论方程lnx?ax(a?0)有几个实根.
【零点个数问题，令f(x)?lnx?ax，求单调区间并用零点定理】.
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11.讨论曲线y?4lnx?k与y?4x?ln4x的交点个数.
解 【零点个数问题，讨论方程4lnx?k?4x?lnx根的个数】 令f(x)?4lnx?k?4x?ln4x，
4f?(x)?414?4?4ln3x??(1?x?ln3x) xxx2令g(x)?1?x?ln3x，g?(x)??1?3lnx?1， x当x?0时，g?(x)?0，g(x)递减，g(x)只有惟一零点x?1， 故f(x)只有惟一驻点x?1，f(x)在(0,1]，[1,??)上单调，
4lnxkln4xf(x)???，limf(x)?limx(??4?)???，f(1)?k?4， 又limx???x???x?0?xxx当f(1)?k?4?0，即k?4时，方程无实根，当f(1)?k?4?0，即k?4时，方程有惟一实根，当f(1)?k?4?0，即k?4时，方程有两个实根.
故当k?4时，两条曲线无交点，当k?4时，两条曲线有一个交点，当k?4时，两条
曲线有两个交点.
12.在区间(??,??)内，方程x?x?cosx?0有几个实根？ 证 【零点个数问题】
令f(x)?x?x?cosx，此函数为偶函数且x?1时f(x)?0，故只要讨论f(x)在
14121412[0,1]内有几个实根.
x?[0,1]时，f(x)?x?x?cosx，
f(x)在[0,1]上连续，f(0)??1?0，f(1)?2?cos1?0，
14121?31?14且f?(x)?x?x2?sinx?0，
42故f(x)在(0,1)内有且仅有一个实根，
所以，在区间(??,??)内，方程x?x?cosx?0有两个实根.
问题16 如何证明不等式？
答 证明不等式是常常考题型之一，务必通过例题熟练掌握证明不等式的方法. 证明不
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