等式的方法有
⑴用中值定理
利用f?(?)?⑵用单调性
若f(x)在[a,b]上递增，则
对?a?x?b,f(a)?f(x)?f(b)， ?x1,x2?[a,b],x1?x2,f(x1)?f(x2). ⑶用最值
若f(x)在[a,b]上有最大值M和最小值m，则对?x?[a,b],m?f(x)?M. ⑷用凸性
若f(x)在[a,b]上是凹的，则曲线y?f(x)任一点的切线位于曲线下方，任意两点的连线（弦）位于曲线上方.
⑸用泰勒公式（见题型11） ⑹用积分不等式
设x?[a,b]，f(x)?g(x)，则推论
f(b)?f(a)将函数不等式转化为导数不等式.
b?a?baf(x)dx??g(x)dx.
ab?baf(x)dx??f(x)dx.
ab⑺用估值不等式.
设x?[a,b]，m?f(x)?M，则m(b?a)??baf(x)dx?M(b?a).
为了利用导数证明不等式，常常将常量不等式转化为变量不等式，这是证明不等式的重要方法，必须熟练掌握.
例
21.设e?a?b?e，证明：lnb?lna?224(b?a). （04-1-2） 2e证 【将常量不等式转化为变量不等式】 令f(x)?lnx?lna?4(x?a) e2142(1?lnx)f?(x)?2lnx??2，f??(x)?，
xex22222当e?a?x?b?e时，f??(x)?0，f?(x)递减，f?(x)?f?(e)?0，f(x)递增，
f(b)?f(a)?0，即ln2b?ln2a?2.设x?(0,1)，证明： ⑴(1?x)ln(1?x)?x；
224(b?a). 2e31
⑵
1111 ?1???. （98-2）
ln2ln(1?x)x2证 ⑴【用单调性】
令f(x)?(1?x)ln2(1?x)?x2， 则f(x)在[0,1]上连续，且
f?(x)?ln2(1?x)?2ln(1?x)?2x，
f??(x)?2ln(1?x)22??2?[ln(1?x)?x]，
1?x1?x1?x当x?(0,1)时，f??(x)?0，f?(x)递减，f?(x)?f?(0)?0，
f(x)递减，f(x)?f(0)?0，即(1?x)ln2(1?x)?x2.
⑵【用单调性】
1111(1?x)ln2(1?x)?x2?，则g?(x)??令g(x)? ?2?222ln(1?x)x(1?x)ln(1?x)xx(1?x)ln(1?x)由⑴知，当x?(0,1)时，g?(x)?0，g(x)递减，
x?0limg(x)?lim??x?0x?ln(1?x)x?ln(1?x)?lim??lim?2x?0x?0xln(1?x)x1?11?x?1， 2x2令g(0)?111111?1，故?1???. ，又g(1)?2ln2ln2ln(1?x)x2ba3.设b?a?e，证明：a?b.
证 【将常量不等式转化为变量不等式】 只要证明 b?a?e时，blna?alnb，即令f(x)?lnalnb?. ablnx1?lnx，则f?(x)?， xx2当x?e时，f?(x)?0，f(x)单调减少， 故b?a?e时，f(a)?f(b)，即
lnalnbba?，亦即a?b. ab4.设不恒为常数的函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)?f(b)，证明：
???(a,b)，使f?(?)?0.
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5.f??(x)?0,f(0)?0，证明：对任何x1?0,x2?0，有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2). 6.试证：当x?0时，(x2?1)lnx?(x?1)2.
问题17 泰勒公式有哪些应用？ 答 泰勒公式建立了函数与导数、高阶导数的联系，因而可以用导数及高阶导数研究函数. 凡是涉及高阶导数的问题，常用泰勒公式. 关于泰勒公式的内容，简述如下： 泰勒中值定理 如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)有直到(n?1)阶的导数，则对任一x?(a,b)，有
f??(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n?Rn(x)
2!n!其中
f(n?1)(?)Rn(x)?(x?x0)n?1（?在x0与x之间）.
(n?1)!注 ⑴此公式称为f(x)在x0处的n阶泰勒公式；
f??(0)2f(n)(0)nx???x?Rn(x)，称为麦克⑵x0?0时，f(x)?f(0)?f?(0)x?2!n!劳林公式；
⑶n?0时,就是拉格朗日公式；
f(n?1)(?)⑷Rn(x)?(x?x0)n?1称为拉格朗日型余项，如果f(n?1)(x)在(a,b)内有界，
(n?1)!则Rn(x)?o[(x?x0)n]，称为佩亚诺(Peano)余项.
⑸常见函数的泰勒展开：
x2xn????o(xn),(0???1) ①e?1?x?2!n!xx3x5x2m?1m?1②sinx?x?????(?1)?o(x2m?1)
3!5!(2m?1)!2mx2x4mx③cosx?1?????(?1)?o(x2m) 2!4!(2m)!33
nx2x3n?1x????(?1)?o(xn) ④ln(1?x)?x?23n⑤(1?x)?1??x???(??1)2!x2????(??1)?(??n?1)n!xn?o(xn)
请写出它们的拉格朗日型余项. 泰勒公式有如下几个方面的应用： ⑴利用五个展开式求极限； ⑵利用五个展开式求f(n)(0)；
⑶凡是涉及高阶导数的证明问题，常用泰勒公式. 例
ln(1?x)ln(1?x)?ln(1?x2)? . 1. limx?0x42. 设f(x)?xe?x2 ，则f(11)(0)? .
3.设f(x)在[?1,1]上有三阶连续导数，且f(?1)?0,f(1)?1,f?(0)?0，证明：
???(?1,1)，使f???(?)?3. （99-2）
证 由题设条件和泰勒公式知，对于任意的x?[?1,1]，有
f??(0)2f???(?)3x?x，其中?在0与x之间， 2!3!f??(0)f???(?1)??0，其中?1?(?1,0)， 令x??1，得f(?1)?f(0)?2!3!f??(0)f???(?2)??1，其中?2?(0,1)， 令x?1，得f(1)?f(0)?2!3!f???(?2)?f???(?1)?1， 两式相减，得
6f(x)?f(0)?f?(0)x?f???(x)在[?1,1]上连续，因而在[?1,?2]上连续，故有最大值M和最小值m，又m?f???(?2)?f???(?1)?M，由介值定理知，???[?1,?2]?(?1,1)，使
2f???(?2)?f???(?1)f???(?)??3.
24.设函数f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)?f?(0)?f?(1)?0，f(1)?1. 证明：存在??(0,1)，使得f??(?)?4.
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证 f(x)在x?0与x?1的一阶泰勒公式为：
f??(?1)2x，(0??1?x)， 2!f??(?2)f(x)?f(1)?f?(1)(x?1)?(x?1)2，(x??2?1)，
2!f??(?1)f??(?2)11111令x?，得f()?，(0??1?)，f()?1?，(??2?1)，
2282282f(x)?f(0)?f?(0)x?两式相减，得f??(?1)?f??(?2)?8，从而有f??(?1)?f??(?2)?8， 取f??(?)?max?f??(?),1f??(?2)?，则??(0,1)，f??(?)?4.
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