将（2）式代入（1）式，得到u(x, )满足的方程及边界，初始条件
u(x, ) 2u(x, )
a 2
x
u(R, ) u(0, )
0 0 （3）
x x
qc2
u(x,0) t x0 2 R
用分离变量法解方程（3），设
u(x, ) X(x) T( ) （4） 代入（3）中第1个方程后得出变量分离的方程
T'( ) 2T( ) 0 （5） X"(x) 2X(x) 0 （6） （5），（6）式中 为待定常数。 方程（5）的解为
T( ) e
2
（7）
方程（6）的通解为
x csin x （8） X(x) ccos
为使（4）式是方程（3）的解，（8）式中的c，c， 的取值必须使X(x)满足方程（3）的边界条件，即必须c 0， n /R。
由此得到u(x, )满足边界条件的1组特解
n
un(x, ) cncosx e
R
an2 2R'
'
'
（9）
将所有特解求和，并代入初始条件，得
cncos
n 0
qn
x t0 cx2 （10） R2 R
qc2
x的傅氏余弦展开式的系数 2 R
为满足初始条件，令cn为t0
c0
qc21R
(t x)dx0 0R2 R
（11）
qcR t0
6