线的求解方法，这种运动也只具有限多自由度，在电学理论和经典控制理论中，一种广泛适用的频域分析方法要求把函数的定义域由实数扩展到复数，而复变函数论则是专门讨论复变函数性态的数学分支，它给包括Fourier变换和Laplace变换在内的各种频域分析方法，提供了坚实的理论基础。同样，电学理论和经典调节原理的对象，一般也只具有限多自由度。
现代控制理论已经由研究单个特定函数作用于系统时所产生的行为，扩展到研究一类函数作用于系统时可能产生的行为。这样的一类函数或称函数类、函数空间同样具无限多自由度。而定义于其上的泛函数或算子，则可用来描述系统的行为或其中的各种关系。
泛函分析正为控制理论的进一步研究提供了有力的工具。首先要把有限维向量空间的概念推广到一般线性空间，包括由函数类形成的无限维线性空间，接着要讨论一类在元素间定义了距离的集合，称为“度量空间”。在度量空间中，才有可能定义点序列的收敛，并由此引出点集的某此拓扑概念，同时还讨论定义于其上的泛函数与算子的某些性质。一类特殊的度量空间称为“赋范线性空间”，它兼有线性空间的代数结构和赋范数的拓扑结构，是用以描述具无限多自由度运动过程的一般数学工具。而在赋范线性空间中，又有一类更接近有限维空间（欧氏空间）特性的无限维线性空间，称为“内积空间”，其上定义了内积，类似欧氏空间上向量间的标量积，从而可以引入向量间的夹角、向量直交等概念。对各种抽象空间的研究，是泛函分析的研究内容之一。
其次要把有限维空间上的线性变换推广到一般度量空间上的算子理论，特别是赋范线性空间上的线性算子理论。事实上，相当广泛的一类实际系统，都可以用某些抽象空间，以及存在于这些空间上的算子描述。算子理论，特别是线性算子理论，这是泛函分析的主要研究内容。算子的性态，诸如连续性、有界性、紧性和闭性等，又是算子理论研究的重点。算子方程求解及线性算子的能解性研究，给各种代数方程和微分方程求解，以及控制系统综合等，提供了理论基础。对偶空间和伴随模型算子的研究，是算子理论的一个主要组成部分。
事实上，泛函分析确实在控制领域得到了广泛的应用：包括抽象系统的描述与分析、系统稳定性与鲁棒性分析、泛函优化与最优控制，以及控制问题的数值计算等。
因为控制理论中几乎所有的问题，都可以用泛函分析中有关空间和算子的术语来描述，而泛函分析严谨广博的理论体系，对所研究问题的归属有明确的规定，同时可以向研究者提供解决问题的途径。
控制理论所研究的问题，可以概括为系统分析、系统综合、建模和优化。系统分析，包括系统的稳定性分析、能控能观性分析、鲁棒性分析等，主要是分析