a1b1 ab
31.设A 21
anb1
a1bn a2bn
,其中ai 0,bi 0
anbn
则矩阵A的秩r(A) _______.
a1b2a2b2 anb2
（i=1,2, ,n)
分析仔细研究矩阵A的结构，会发现A中每个元素均不为零，且A中任意两行 a1 a 2
或两列都成比例，从而A b1,b2, bn GH
an
显然，r(G) r(H) 1，所以1 r(A) min{r(G),r(H)} 1，从而r(A) 1.
另一方面，由于ai 0，b 0(i,j 1,2, ,n)，故A 0，所以r(A) 1.但由于A中任意两行或两列，因此r(A) 2，也可说明r(A) 1故应填1.
二、选择题
1.若n阶方阵A满足A2 2A 3E 0，则矩阵A可逆，且A 1 （A）A 2E
（B）2E A
1
(C)－(A 2E)
3
1
（D(A 2E)
3
分析由矩阵方程A2 2A 3E 0，有A(A 2E) 3E，1
从而A[(A 2E)] E.因此
3
1
A 1 (A 2E).故应选(D).
3
2.设A，B为n阶方阵，且AB BA，则下列各式中不正确的是
则必有
(A)(A E)(B E) (B E)(A E)(C)ATB BAT
(B)若A可逆，则A 1B BA 1(D)A2B3 B3A2
解选项(A)，
(A E)(B E) AB B A E BA B A E (B E)(A E);选项(B)，对AB BA等式两端同时左乘、右乘A 1，得BA 1 A 1B;选项(D)，A2B3 (AB)2B (BA)2B B(AB)(AB) B2(AB)A B3A2;由排除法知应选(C).
3.已知A,B均为n阶非零矩阵，且AB 0，则（A）A,B中必有一个可逆矩阵（C）A,B都为可逆矩阵
（B）A,B都为不可逆矩阵（D）以上选项均不正确