2008-2009第一学期216A
f(x) f(0)e2x 1
f (0) lim lim 2
x 0 x 0x 0x
f(x) f(0)sinax
f (0) lim lim a所以a 2 故f (0) 2
x 0x 0x 0x
F[f(x)] F[f(0)]
F[f(0)] lim 2、x 0x 0
F[f(x)] F[f(0)]f(x) f(0) limlim F (0)f (0) 2F (0) x 0x 0f(x) f(0)x 0
四、（12分）解：1
x3 y x 3 y 取一在面积元ds 2xdy 33
此面积所受的压力：dF pds p2xdy p为ds上的压强，
因为水的比重为1，所以p y 故dF pds 2xydy 2y(3 y)dy
如图所示：
3
则F 2y(3 y)dy 3y2|30
23331
y|0 3 9 33
b
2、作一水平线y b使得闸门上下两部分所受的压力相等。即：
9931
2 y(3 y)dy 即 y(3 y)dy 而 y(3 y)dy b2 b3 故有
22340
00
9313
b2( b) b 时， 即等要三角形水闸的中位线的上、下两部分所受的压力相等。 4232
x11
五、（12分）解：1、由y(x) 1 [y (t) y(t) e t]dt y (x) [y (x) y(x) e x]
202 x
即y (x) 2y (x) y(x) e且y(0) 1,y (0) 1
又r 2r 1 0 r1,2 1 又y*(x) Axe
x x2 x2 x x2 x
2Ae 4Axe Axe y*(x) Axe,y*(x) 2Axe Axe,y*(x)
2
2 x
bb
112 x x
得y(x) (c1 c2x)e xe 22
12 x12 x x x x
由y(0) 1 c1 1 而y (x) [(1 c2x)e xe] [c2 1 2c2x]e xe xe
2212 x
由y (0) 1 c2 0 所以有 y(x) (1 x)e
2
12 x12 x1
2、 y(x)dx (1 x)edx (1 x)ed(-x) (1 x2)d(e x)
2220000 2Ae x e x A
11
[(1 x2)e x|0 e xd(1 x2)] [ 1
220
六、（7分）解： 令F(x) f(x)e
kg(x)
] 2 xd(e x)] [ 1 e x|0
则有： F(0) 0,F(1) 0 F ( ) 0 (0,1) 而
kg(x)
g (x)f(x) e kg(x)f (x) 所以有： f ( ) kf( )g ( ) 0 F (x) ke
3