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学习资料精品资料f(x)↗极大值↘极小值↗
故函数f (x)的单调递增区间是(-∞,-1),(a,+∞);单调递减区间是(-1,a ).
(2)由(1)知f(x)在区间(-2,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,从而函数f(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点当且仅当解得0<a<所以a的取值范围是
(3)当a=1时,f(x)=x3-x-1.由(1)知f(x)在区间[-3,-1]上单调递增,在区间[-1,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递增.
①当t∈[-3,-2]时,t+3∈[0,1],-1∈[t,t+3],f(x)在区间[t,-1]上单调递增,在区间[-1,t+3]上单调递减.因
此f(x)在区间[t,t+3]上的最大值M(t)=f(-1)=-,最小值m(t)为f(t)与f(t+3)中的较小者.
由f(t+3)-f(t)=3(t+1)(t+2)知,当t∈[-3,-2]时,f(t)≤f(t+3),则m(t)=f(t),所以g(t)=f(-1)-f(t).因为f(t)在区间[-3,-2]上单调递增,所以f(t)≤f(-2)=-故g(t)在区间[-3,-2]上的最小值为g(-2)=-
②当t∈[-2,-1]时,t+3∈[1,2],且-1,1∈[t,t+3].
下面比较f(-1),f(1),f(t ),f(t+3)的大小.
因为f(x)在区间[-2,-1],[1,2]上单调递增,
所以f(-2)≤f(t)≤f(-1),f(1)≤f(t+3)≤f (2).
因为f(1)=f(-2)=-,f(-1)=f(2)=-,
从而M(t)=f(-1)=-,m(t)=f(1)=-所以g(t)=M(t)-m(t)=
综上,函数g(t)在区间[-3,-1]上的最小值为
二、思维提升训练
11.A解析令g(x)=e x f(x),则g'(x)=e x(f(x)+f'(x))<0,
所以g(x)在R上单调递减,所以g (2)>g(3),即e2f(2)>e3f(3).故选A.
12.(-∞,-2)解析若g(x)=,
则g'(x)=>0,
所以g(x)在R上为增函数.
又不等式f(m+1)<e m+1f等价于,
即g(m+1)<g,所以m+1<,解得m<-2.
13.解(1)由f(x)=,知x∈(-1,0)∪(0,+∞).
所以f'(x)=-
令h(x)=1+(x+1)ln(x+1),