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令h(a)=-ln a,
因为h(1)=>0,h(2)=-ln 2<0,又h(a)在a∈(0,+∞)内是减函数,且a为整数,
所以当a≥2时,h(a)<0.
所以整数a的最小值为2.
(方法二)由f(x)≤ax-1恒成立,得ln x-ax2+x≤ax-1在区间(0,+∞)内恒成立,
问题等价于a在区间(0,+∞)内恒成立.
令g(x)=,
因为g'(x)=,
令g'(x)=0,得-x-ln x=0.
设h(x)=-x-ln x,
因为h'(x)=-<0,所以h(x)在区间(0,+∞)上单调递减,
不妨设-x-ln x=0的根为x0.
当x∈(0,x0)时,g'(x)>0;当x∈(x0,+∞)时,g'(x)<0,所以g(x)在x∈(0,x0)内是增函数;在x∈(x0,+∞)内
是减函数.所以g(x)max=g (x0)=
因为h=ln 2->0,h(1)=-<0,
所以<x0<1,此时1<<2,
即g(x)max∈(1,2).
所以a≥2,即整数a的最小值为2.
(3)证明:当a=-2时,f(x)=ln x+x2+x,x>0.
由f(x1)+f(x2)+x1x2=0,
得ln x1++x1+ln x2++x2+x1x2=0,
从而(x1+x2)2+x1+x2=x1·x2-ln(x1·x2).
令t=x1·x2(t>0),φ(t)=t-ln t,则φ'(t)=
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