h2），O（τ2+h2）和O（τ2+h2）［1］．1.2
初、边值条件的处理
1
可算出u在第一层各个节点处的近似值uj．重
可以逐层计算出所有的uj．复使用此式，
隐式格式：将（7）式与离散化的初边值条件联立，得差分方程组：
k+1k+1k+1kk
－rUj－1+（1+2r）Uj－rUj+1=Uj+τfj 2，…，N－1，j=0，1，…，M－1） （k=1，
（11）
0
U=（k=0，1，…，N）?jj k
U0=g1k，Uk（j=0，1，…，M）L=g2k将上述方程组改写成矩阵形式
k
对定解条件进行离散化．由初始条件及第一
类边界条件，可直接得到：
U00）=?j，（j=0，1，…，M）；j=u（xj，
k
U0=u（0，tk）=g1k，
Uktk）=g2k，（k=1，…，N）．L=u（L，1.3
稳定性分析令r=
aτ
为网格比，显式格式公式（2）变为：h2
+1kUk=rUkj+1+（1－2r）Uj+J
krUk（6）j－1+τfj
使用Fourier方法可知，当r≤1/2时显式格式稳定．
隐式格式变为：
+1k+1
－rUk－j－1+（1+2r）Uj
+1kkrUkj+1=Uj+τfj．
（7）
由Fourier方法可得隐式格式恒稳定．Crank-Nicolson格式变为：
－
rk+1+1Uj－1+（1+r）Uk－j2
k+1k
U1 U1+rg1j+1
k Uk+1 U22
? = ? k+1 UM－2 UkM－2 k+1 k UM－1 UM－1+rg2j+1
（12）
此方程组是三对角方程组，且系数矩阵严格对角
故解存在唯一．通过在每一时间层上求解占优，
一个这样的线性方程组得到在各个时刻各个网格点上的函数值．
（8）
Crank-Nicolson格式：将（8）式与离散化的
得差分方程组：初边值条件联立并整理，
r+1+1k+1
－rUk－Ukj－1+（1+r）Ujj+1=22
rk
rkkk
2Uj+1+（1－r）Uj+2Uj－1+τfj
2，…，N－1，j=0，1，…，M－1） （k=1，
U0=?（j=0，1，…，M）jj k U0=g1k，Uk（k=1，2，…，N）L=g2k
rk+1rk
U=U+2j+12j+1（1－r）Ukj+
rk
Uj－1+τfkj．2
对于r＞0恒有增长因子|G|≤1，恒稳定．
DuFortFrankel格式变为：
+1－1
（1+2r）Uk=（1－2r）Uk+jj
2rU
k
j－1
+2rU
kj+1
+2τf．
kj
（9）
（13）
由Fourier方法可得DuFortFrankel格式恒稳定．
2差分格式的求解
显式格式：将（6）式与离散化的初边值条件结合，得到求解此问题的差分方程组：
k+1kkkk Uj=rUj+1+（1－2r）Uj+rUj－1+τfj 2，…，N－1，j=0，1，…，M－1） （k=1， 0
Uj=?j（j=0，1，…，M） k
U0=g1k，Uk（k=1，2，…，N）L=g2k
与隐式格式类似，用六点格式由第k时间层的值
k+1
Uk时，需求解三j计算第k+1时间层的值Uj对角方程组
：
（10）
由于初始时间层上的u值为已知，由（10）式即