考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．
分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）利用勾股定理求得△BCD的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断；
（3）分p在x轴和y轴两种情况讨论，舍出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解． 解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c
由抛物线与y轴交于点C（0，3），可知c=3．即抛物线的解析式为y=ax2+bx+3．
把点A（1，0）、点B（﹣3，0）代入，得
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．
∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）△BCD是直角三角形．
理由如下：解法一：过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．
∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴BC2=OB2+OC2=18
在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，∴CD2=DF2+CF2=2
在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，
∴BD2=DE2+BE2=20∴BC2+CD2=BD2∴△BCD为直角三角形．
解法二：过点D作DF⊥y轴于点F．
在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3∴OB=OC∴∠OCB=45°
∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1∴DF=CF∴∠DCF=45°
∴∠BCD=180°﹣∠DCF﹣∠OCB=90°∴△BCD为直角三角形．
（3）①△BCD的三边，==1/3，又=，故当P是原点O时，△ACP∽△DBC；
，即=，解得a=﹣1，b=﹣2 ②当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，设P的坐标是（0，a），则PC=3﹣a，=
解得：a=﹣9，则P的坐标是（0，﹣9），三角形ACP不是直角三角形，则△ACP∽△CBD不成立；