2010年考研数学试题1-3合并整理。
t2
3（ⅠⅡ）（本题满分10分）求函数f(x) 4（ⅠⅡⅢ）（本题满分10分）（Ⅰ）比较 （Ⅱ）记un
x2
1
(x t)edt的单调区间与极值。
10
2
1
|lnt|lnn(1 t)dt与 tnln|t|dt的大小，并说明理由。
n
1
|lnt|lnn(1 t)dt(n 1,2, )，求极限limun.
1
3
5（Ⅱ）（本题满分10分）设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0) 0,f(1) .证明:
存在 0, , ,1 ,使得f ( ) f ( ) 2 2.
6（Ⅲ）（本题满分10分）设函数f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内二阶可导，且2f(0) ①证明：存在 (0,2)使f( ) f(0); ②证明：存在 (0,3)，使f ( ) 0.
1 2 1 2
2
f(x)dx f(2) f(3).
( 1)n 12n
7（Ⅰ）（本题满分10分）求幂级数 x的收敛域及和函数。
2n 1n 1
2
x 2t t,( 1 t)所确定，其中 (t)具有二阶导数， 8（Ⅱ）（本题满分11分）设函数y f(x)由参数方程
y (t)
5d2y3
且 (1) , (1) 6,已知2 ,求函数 (t).
2dx4(1 t)
9（Ⅱ）（本题满分10分）一个高为1的柱体形储油罐，顶面的长轴为2a,短轴为2b的椭圆,
现将储油罐平放,当油罐中油面高度为
3
b时(如图),计算油的质量.(长度单位为m, 质 2
量单位为kg, 油的密度为常数 kg/m3)
10（Ⅱ）（本题满分11分）设函数u f(x,y)具有二阶连续偏导数,且满足等式
2u 2u 2u
42 12 52 0 x x y y
2u
确定a,b的值,使等式在变换 x ay, x by下化简为 0.
11（Ⅱ）（本题满分10分）
计算二重积分I 12（Ⅲ）（本题满分10分）计算二重积分
2rsin ,其中D {(r, )|0 r sec ,0 4D
3
D
x
其中是由x
0及x 0围成。 (x y)dxdy,
D
222
13（Ⅲ）（本题满分10分）求函数M xy 2yz在约束条件x y z 10下的最大值和最小值。
14（Ⅰ）（本题满分10分）设P为椭球面S:x y z yz 1上的动点，若S在点P处的切平面与xoy面垂直，
求点P的轨迹C,
并计算曲面积分：I
222
,其中 为S位于曲线C上方的部分。
11 a 15（ⅠⅡⅢ）（本题满分11分）设A 0 10 ,b 1 ,已知线性方程组Ax b存在两个不同的解。
11 1
①求 ,a;②求方程组Ax b的通解。
22
16（Ⅰ）（本题满分11分）已知二次型f(x1,x2,x3) xTAx在正交变换x Qy下的标准型为f y1 y2,且Q的第三
列为 22。①求矩阵A; ②证明A+E为正定矩阵。
T