例10、若实数x满足[x
100
19100
] [x
20100
] [x
91100
] 546,求[100x]的值。
例11、计算和式 [
n 1
23n101
]的值。
6、 格点问题
平面区域内的格点计数问题，往往与[x]有关，而且通过格点计数，还可以证明一些恒等式。
n
n
例12、设n N,n
2,求证：
k 2
[log
k 2
k
n].
证明：构造平面区域D={(x,y)yx n,x 2,y 2},并考虑D中整点的个数：
（1） 如果一列一列的数，x=2
时有个，x
3时有个，…，x
n时有个，
n
故共有 个。
k 2
（2） 如果一行一行的数，y 2时有[log2n]个，y 3时有[log3n]个，…，y n时有
n
[lognn]个，故共有 [logkn]个。
k 2
综合（1）、（2），问题获证。
一般地，设函数y f(x)在[a,b]上连续且非负，则表示平面区域a x b,0 y f(x)的格点数。
特别地，有
（ⅰ）位于三角形：y ax b 0,c x d内的格点个数等于数）。
（ⅱ）设p,q为正奇数，(p,q)
1矩,形域(0,
q2] (0,
p2
]内的格点数等于
a t b
[f(t)]（t为[a,b]内的整数）
0 x d
[ax b]（x为整
0 x
[
q2
pq
x]
0 y
2
[
p2
qp
y]
p 1q 1
。 22
（ⅲ）r 0,圆域x y
r内的格点个数等于1 4[r] 8
22
0 x 。
2
（ⅳ）n 0,区域：x 0,y 0,xy
n内的格点个数等于2
0 xn2
[] 。 x