1 1 1组成的群G，试写出G的乘法表，并且求出G的单位元及 1 1, 2和G的, 3, 4
所有子群。
2、设Z6 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 是模6的剩余类环，且f(x),g(x) Z6 x 。如果f(x) 3 x3 5 x 2 、g(x) 4 x2 5 x 3 ，计算f(x) g(x)、f(x) g(x)和f(x)g(x)以及它们的次数。
3、群G=(a),|a|=7，求出群G的所有子群。
六、（2011年近世代数）证明题（每小题10分，共40分）
1、设a和b是一个群G的两个元且ab ba，又设a的阶a m，b的阶b n，并且(m,n) 1，证明：ab的阶 mn。
2、设R为实数集， a,b R,a 0，令f(a,b):R R,x ax b, x R，将R的所有这样的变换构成一个集合G f(a,b) a,b R,a 0，试证明：对于变换普通的乘法，G作成一个群。
3、设I1和I2为环R的两个理想，试证I1 I2和I1 I2 a ba I1,b I2 都是R的理想。
4、设R是有限可交换的环且含有单位元1，证明：R中的非零元不是可逆元就是零因子。
5、整数环Z中，证明（3，7）=(1)
6、证明：域是欧式环。
7、证明群同态定理第一条。
8、R[x]条件下，做映射：f：g(x)=g(0),求证：在f映射下R[x]与R同构,并求其核。
多所高校近世代数题库答案
一、（近世代数）判断题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
× × √ √ × √ √ √ × ×
二、（近世代数）单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10