苏汝铿量子力学课后习题及答案
6.3 给定(θ, )方向单位矢量n=(nx,ny,nz)=(sinθcos ,sinθsin ,cosθ)，求
K
σn=σ n的本征值和本征函数。（σz表象）
解题思路：在课本中给出的自旋矩阵为在σz表象中的，具有简单的形式。若要表示空间任K
意方向上的自旋矩阵，只要在原来的矩阵上作空间旋转的相似变换。 解：
在σz表象中，Pauli算符的矩阵表示为，
σ 01
0 i x= 10 ,σy=
i
0 ,σ 10
z= 0 1
因此，
σK
n=σ n=σxnx+σyny+σznz
=
nz
nx iny e i
nx+iny
n = cosθ
sinθz sinθei
cosθ
设σ C1
n的本征函数为φ=
，本征值为λ，则本征方程为， C2
(σn λ)φ=0
即
(cosθ λ)C1+sinθe i C2=0 sinθei
C 1 (cosθ λ)C 2=0
det(σn λ)=0为有菲平庸解条件，可知λ=±1，相应的本征函数为
φ cos2
1= sini ,λ=1
2e
φ cos2
1= ei ,λ= 1 sin2
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