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2018年华东交通大学理学院821数学分析考研冲刺狂背五套题（一）
说明：本套狂背五套题按照考研侧重点和出题难度，严格筛选提取了历年考试高频核心试题及重点题型，更突出针对性和实战性，适用于考研冲刺最后狂背。
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一、证明题
1． 设f 为[a ,b]上二阶可导函数,,并存在一点
使得
证明至少存在一
点
使得
【答案】因f （x ）在[a ,c]上满足拉格朗日中值定理,故存在
使
由得
.
同理,存在使.于是有
又因为在
上可导,由拉格朗日中值定理知,
存在
,使得
2． 证明:任一实系数奇次方程至少有一个实根.
【答案】设有一个奇次方程为,其中
,设
.令
则
由
知,
存在正数,
使得
.
由
知,
存在负数
,
使得
.于是,
与
异号.由根的存在定理知,f （x ）=0在
内至少有一个根.故任
一实系数奇次方程至少有一个实根.
二、解答题
3． 试将
按
的幂展开成幂级数. 【答案】设则
,
故
又
所以
由
即
可得x>0,所以