所以i j k
AB ×AC = =i -j + k =-23i -2j -11k ；
9 |AB ×AC |=654)11()2(23222=?+?+．
S =79.122
65421≈=S ．# 7.2-3 向量的关系及判断
1.向量垂直及其判定
若非零向量a ,b 的夹角(a ,b )=90°，则称向量a ,b 垂直，且记作a ⊥b ． 当a ⊥b ，据(9-8)立即可得a ?b =|a ||b |?cos (a ,b )=0；反之，若a ?b =0且a ,b 为非零向量，则必定有cos (a ,b )=0，(a ,b )=90°，即a ⊥b ．由此可得 定理1 两个非零向量a ,b 垂直 ? a ?b =0．
定理1以坐标形式如下：
定理1′ 设a =a x i +a y j +a z k , b =b x i +b y j +b z k ，a ,b 垂直 ? a x b x +a y b y +a z b z =0．(9-13)
2．两个向量平行及其判定
若把向量a ,b 的始点移到同一点后，它们的终点与始点都位于同一条直线上，则称两个向量平行，记作a ∥b ．
规定零向量0平行于任何向量．
平行向量也称共线向量，如图所示，a ∥b , a ∥c ，也可以说 a ,b ,c 是共线的．
共线向量的方向或相同或相反，但模可以不等．
定理2 a ∥b ? 存在实数λ使 a =λb ． (9-14) 定理2的坐标形式如下：
定理2′ 设a =a x i +a y j +a z k , b =b x i +b y j +b z k ．为两个非零向量，则
a ∥
b ? z z y y x x b a b a b a ==． (9-15)
其中若分母某坐标分量为0，则分子对应坐标分量也为0． 又若a ∥b ，则(a ,b )=0或π，由此sin (a ,b )=0．
定理3 两个非零向量a ∥b ? a ×b =0．
例
试判定下列向量中哪些是平行的，哪些是垂直的？)2,2,2()2,1,1(),1,1,1()1,1,0(),0,1,1(54321??=??=?=?=?=a a a a a 解 ∥5352a a a 所以?=3
a 4151314151310a a a a a a a a a a a a ⊥⊥⊥=?=?=?，，，所以 # 例 求同时垂直于向量和)1,2,2(=a )3,5,4(=
b 的单位向量于和
c .解 a ×b 同时垂直a 和b ，a ×b=i-2j+2k
所求单位向量有两个，即
)22(31)22(2)2(112
22k j i k j i b a b a c +?±=+?+?+±=××±=.# -2 1 4
1 5 -3 1 4 5 -3-
2 4 1 -3-2 1 1 5 b ?a c ???