的三个坐标轴单位向量的方向也发生变化。此时的变换顺序很重要，变换顺序不同，
结果不同。
我们假设坐标系(n, o, a)相对于参考坐标系(x ,y ,z)依次进行了下列四个变 西南交通大学本科毕业设计(论文) 第10页 换： ? 绕z轴旋转θ θθ θ度
? 绕z轴平移d ? 绕x轴平移a ? 绕x轴旋转α αα α度
则复合齐次变换xyz noaT
TT
T可由下式求解： (,)(,0,0)(0,0,)(,)XYZ noRotxTransaTransdRotzααθ=×××T TT T
(2-18)
可见，齐次变换矩阵是由一组平移和旋转矩阵依次左乘获得，矩阵书写的顺序
和进行变换的顺序正好相反，而且变换的顺序不能更改，否则结果会随之改变。【6】 2.2.2 坐标系相对于旋转坐标系的变换 前面我们所讨论的所有变换都是相对于固定参考坐标系的。也就是说，所有平
移和旋转都是相对于参考坐标系的轴来测量的。然而事实上，也有可能相对于运动 坐标系或当前坐标系的轴的变换。例如，相对于运动坐标系（当前坐标系）的n轴 而不是参考坐标系的x轴旋转θ
θθ
θ度。为了计算当前坐标系中点的坐标相对于参考坐
标系的变化，我们需要右乘变换矩阵而不是左乘。由于运动坐标系中的点或刚体的 位置总是相对于运动坐标系测量的，所以必须右乘来表示该点或刚体的位置矩阵。 2.2.3 变换矩阵的逆 在分析机器人时，如果已知坐标系｛B｝相对于坐标系｛A｝的值A B T
TT
T，为了得
到｛A｝相对于｛B｝的描述B A T
TT
T,需要求这个矩阵的逆。一个直接求逆的方法就是将
4×4齐次变换求逆。同样，我们还可以通过变换的性质求逆。下面是关于x轴简单 旋转矩阵的求逆过程。旋转矩阵如下： 100 (,)0
0RotxCS SC
θθθ θθ?? ?? =? ??
??
?? (2-19) 我们采用以下的步骤来计算旋转矩阵的逆： 1) 计算矩阵的行列式
2) 将矩阵转置 西南交通大学本科毕业设计(论文) 第11页 3) 将转置矩阵的每个元素用它的子行列式代替
4) 用转置后的矩阵除以行列式 通过以上步骤我们得到： 100 (,)0
0TRotxCS SC θθθ θθ?? ?? = ?? ??
?
?? (2-20)
关于x轴的旋转矩阵的逆与它的转置矩阵相同，即： 1(,)(,)TRotxRotx
θθ?= (2-21) 2.3 机器人的正逆运动学 对于一个已知构型的机器人，当它的连杆长度和关节角度都已知时，计算机器
人手的位姿就称为正运动学。也就是说，如果已知机器人所有的关节变量，用正运 动学方程就能计算任一瞬间机器人的位置和姿态。如果要将机器人的手放到一个期 望的位姿，就必须知道机器人所有关节的长度和角度。由机器人手的位姿来求关节 和连杆变量的过程就称为机器人的逆运动学。对于正运动学，必须推导出一组特定 方程，我们只要将已知的关节和连杆变量代入方程就能计算出机器人的位姿，然后 再根据这些方程求解出逆运动学方程。
在空间中，要确定一个物体的几何状态需要确定其3个位移坐标（位置）和三 个旋转坐标（姿态）。机器人手部的空间位置和姿态的表示可以借助一个固连在它 上面的参考坐标系来表示，只要这个坐标系可以在基座的参考坐标系的空间中表示 出来，那么该机器人手部相对于基座的位姿就是已知的了，可采用齐次坐标变换的 方法完成这两个坐标系的坐标转化。
图2-3 机器人手的位置和姿态描述 西南交通大学本科毕业设计(论文) 第12页 机器人手部的位姿如图2-3所示，可由固接在机器人手部的坐标系｛B｝来表
示。该坐标系由其原点位置和三个单位矢量(n, o, a)唯一确定。坐标系｛A｝表示 固连在机器人基座上的固定参考坐标系。向量P为坐标系｛B｝原点在坐标系｛A｝ 中的位置矢量。前面已经讨论过了一个坐标系在固定坐标系的表示故这里直接给出 坐标系｛B｝在坐标系｛A｝中的位姿的表示： YYYY= 0001 noap noap
noapΧΧΧΧ ΖΖΖΖ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??F
（2-22） 2.3.1正运动学的D-H表示法 机器人建模采用的是Denavit和Hartenberg提出来的标准方法，我们简称为 D-H模型，该模型可用于任何复杂的机器人构型。
假设机器人由一系列的关节和连杆构成，这些关节包括滑动的和旋转的，连杆
长度任意，确保在空间能构成任意想要的机器人模型。为了表示这个模型，我们需 要为每个关节指定一个参考坐标系，然后再考虑从一个关节到下一个关节的变换。 假设一个机器人由任意多的连杆和关节以任意形式构成。如图2-4所示，任意
三个顺序连接的关节和连杆，每个关节都可以平移或旋转。指定第一个关节为关节 n，第二个第三个关节分别为n+1和n+2,连杆n位于关节n和n+1之间，连杆n+1
位于关节n+1和关节n+2之间，这些关节和连杆前后还有其他连杆和关节。 西南交通大学本科毕业设计(论文) 第13页 图2-4 关节-连杆组合的通用D-H表示法 D-H表示法建模的第一步是为每个关节指定本地参考坐标系，每个关节都必须 指定x轴和
z轴，由于D-H法不用y轴，一般不指定y轴。具体步骤如下：
? 所有关节用z轴表示，如果关节是旋转，z轴位于按右手规则旋转的方向，如 果关节是滑动的，
z轴为沿直线运动的方向。关节n处z轴的下标记作n-1。对
于旋转关节，绕z轴的旋转（θ角）是关节变量，对于滑动关节，沿z轴的连 杆长度d是关节变量。
? 如图2-4所示，通常关节不一定平行或相交，因此z轴通常是斜线，但总有一 条公垂线，正交于任意两条斜线。通常在公垂线方向上定义本地参考坐标系的 x轴。例如n
a表示1nz?和nz之间的公垂线，nx的方向即沿na方向。 ? 如果两个关节的
z轴平行，那么它们之间就有无数条公垂线，我们可以挑选与 前一公垂线共线的公垂线，从而简化模型。
? 若两相邻的关节z轴相交，则不存在公垂线，我们选择垂直于两轴平面的任意
直线，同样简化了模型。
在图2-4中，
θ角表示绕z轴的旋转，d表示z轴上两相邻公垂线之间的距离，a表示每一条公垂线的长度，α角表示相邻两z轴的夹角。通常只有θ和d是变量。
从一个参考坐标系变换到另一个参考坐标系（例如从nx-nz到1nx+-1nz+），可 以通过以下四步标准运动实现： 西南交通大学本科毕业设计(论文) 第14页 ? 绕nz轴旋转1nθ+，使得nx和1nx+相互平行且共面。 ? 沿n
z轴平移1nd+距离，使得nx和1nx+共线。 ? 沿
nx轴平移1na+距离，使得的原点重合，此时两个坐标系的原点在同一位置。 ? 将nz轴绕1
nx+旋转1nα+，使得nz和1nz+对准。至此，坐标系n和坐标系n+1
完全一致，变换结束。
在n+1和n+2坐标系间按照同样的运动顺序也可以实现坐标系间的变换。我们 可以从参考坐标系开始，转换到机器人底座，再到第一个关节，依次下去直至 末端执行器。每个变换矩阵（记作A）都是由上述四个矩阵依次右乘的结果：11 1111 11 11
1 1
11(,)(0,0,)(,0,0)(,) 00 1000 0100 00 001 0010 0001 0001 1000 100 00 0100 0010 0001n nn nnnn nn nn n n
nnTA
RotzTransdTransaRotx C C d a CS θα θθ θθ αα++ ++++ ++ ++ + + ++=
=××× ?? ?? ?? ?? ?? ?? =× ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ?? ×× ?? ?? ?? ?? －S S1100