记为A，它是集合A关于?的余集.A是由所有不属于A的样本点组成的集合.A发生当且仅当A不发生.显然，A?A??，而且A与A是相互对立的.
续例1.1.8 A?{至少3件次品}， B?{最多3件次品}，
C?{至少有1件正品}， 且D?E， D?E??(D, E为对立事件).
(7) 差A?B.这也是一种运算.给定事件A和B，A?B表示“A发生且B不发生”这一事件.它是由属于事件A但不属于事件B的样本点组成的集合，称为事件A与B的差.显然
A?B?AB.
例1.1.7中， A?B?{取到K但不是梅花}?{红心K，方片K，黑桃K}. 从具体例子中，我们容易理解以上概念，而英国逻辑学家维恩(Venn) (1834—1888年)为我们提供了更直观的工具，他使用图示法来表示事件之间的各种关系.读者可利用图1.1.1来加深对上述概念的理解.
图1.1.1
由集合论的初步知识，我们就不难发现，事件之间的关系及运算与集合论之间
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的关系及运算是完全相似的.但在概率论中，很重要的一点是要学会用事件的语言来解释这些关系及运算，并学会用这些关系与运算来表示各种各样的事件.
事件的运算和集合的运算一样，也满足一系列的运算规律： （i）交换律：A?B?B?A, AB?BA；
（ii）结合律：(A?B)?C?A?(B?C), (AB)C?A(BC)；
（iii）分配律：(A?B)C?AC?BC, (A?B)?C?(A?C)?(B?C)； （iv）德莫根（De Morgan）定理：A?B?A?B, A?B?A?B. 德莫根定理可推广到任意多个事件的场合.
上述运算律不作严格证明，读者可结合前面例子，利用维恩图来直观地验证这些规律的正确性.
例1.1.9 设A, B, C为3个事件，一些事件的表示方法为:
a) A发生而B与C都不发生：ABC或A?B?C或A?(B?C)；
b)A与B都发生而C不发生：ABC或AB?C； c) 3个事件都发生：ABC；
d)3个事件恰好发生一个：ABC?ABC?ABC；
e) 3个事件恰好发生两个：ABC?ABC?ABC； f) 3个事件中至少发生一个：A?B?C
或ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC.
例1.1.10 已知系统由元件A, B, C组成，连接方式如图1.1.2所示. 设A, B, C分别表示事件：元件A, B, C正常，则“系统正常”可表示为A?(B?C)；
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图1.1.2
由德莫根定理，“系统发生故障”可表示为：
A?(B?C)?A?(B?C).
§1.2 古典概型
对于随机现象，我们不仅要知道所有可能发生的结果，更主要的是要了解各种可能结果以多大的可能性发生，这是概率论的一个基本任务，也就是要计算各种随机事件发生的概率.
其实，概率一词早已为大多数人所熟悉：掷一枚均匀硬币，“出现正面”的概率为二分之一，这一结论人们能够接受.但是，它的确切含义是什么?是否掷100次硬币，正面必出现50次；又比如，若彩票的中奖律为千分之一，买1000张彩票一定会中奖吗?显然不是，那么又怎样来理解这里的二分之一、千分之一?.
在本节，我们首先讨论概率论中一类最简单的概率模型—古典概型.
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一、古典概型
上抛一枚均匀硬币出现正面，反面的可能性都是
1，这是掷硬币模型的特征.2事实上，这种等可能性并非只有掷硬币模型才具备，而是一大类模型的共同特点.例如：一般的摸球模型，设袋中装有各种颜色的球，只要它们外形完全相同，质地分布均匀，而且摸球者不是有特异功能者，在一次摸球时，袋中各球被摸到的可能性是相等的；同样，一个购买房屋的有奖储蓄的居民，也总是相信由摇奖决定的得奖号码不会对任何数字有所偏爱，故他获得一套住房的机会和其他购买者是均等的.
这种等可能性加上样本点个数有限，就是古典概型的基本特征.一般地，称具有下列两个特征的随机试验的数学模型为古典概型：
(1) 试验的全部可能结果只有有限个，譬如n个，即
??{?1,?2,?,?n}.
(2) 每个样本点?i(i?1,2,?,n)出现的可能性是相等的，若用P(A)记事件A发生的概率，则
P(?1)?P(?2)???P(?n)?1. n需要说明的是以上谈到的等可能性是对样本点即基本事件而言的.对一般的随机事件，它是由若干个样本点组成，其概率则由这些样本点的个数所决定.如果事件A包含了?中的nA个样本点，即A?{?i1,?i2,?,?im}(m?nA)，其中?ij为
?的基本事件(j?1,2,?,m)，由于?ij的出现必导致A的发生，因此说它们的出
现对A的发生有利，故通常称?i1,?i2,?,?im为A的“有利场合”，则古典概型中事件A发生的概率可由下式计算：
P(A)?nAA包含的样本点数A的有利场合数. ??n样本点总数样本点总数9
上式为概率的一般定义，但只适用于古典概型，因此称它为概率的古典定义.
例1.2.1 投掷一对均匀骰子一次，求两枚骰子之和为7点或11点的概率. 解 图1.2.1显示了掷一对骰子一次的样本 空间.(a,b)表示第一枚骰子为a点，第二枚 骰子为b点. 由于骰子是均匀的，故样本 点总数为36. 设A表示事件“骰子之和为
7点或11点”，则A是图中圈出部分.
由于A包含8个样本点，因此
图1.2.1
P(A)?82?. 369古典概型中许多概率的计算相当困难而富有技巧，计算的要点是先确定样本空间，并计算它的总数，而后再计算有利场合数.在这些计算中，当样本空间的元素较多时，用上面直接计算的方法很难求解，此时，需借助于计数的基本方法───排列与组合的原理及公式，这便是古典概型概率计算的难点所在.
例1.2.2 有10个电阻，其电阻值分别为1?, 2?, ?, 10?.现从中依次随机地取2个电阻，在下列两种情形下分别求两个电阻中恰有一个是超过6?的概率.
(1) 有放回情形； (2) 无放回情形.
解 设事件A表示“两个电阻中恰有一个超过6?”.现从中依次取两个电阻，每一种取法视作一个基本事件.显然，样本空间仅有有限个元素，且每个基本事件发生是等可能的.
(1) 有放回情形
先确定样本点总数n：第一次取时有10个电阻可供选取，有10种取法.由于取后放回，故第二次取时仍有10种取法，由计数法的乘法原理，共有10?10种取法.
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