n?102.
再确定有利于A的场合数nA.对于事件A，有两种情形：一是第一次取到超过
6?的电阻且第二次取到小于等于6?的电阻，共有4?6种取法；二是第一次取到
小于等于6?的电阻且第二次取到超过6?的电阻，共有6?4种取法，由加法原理知，
nA?4?6?6?4 ， P(A)?(2) 无放回情形
4?6?6?4?0.48. 210先确定样本点总数n：第一次有10个电阻可供选取，由于取后不放回，因此第二次取时还剩9个电阻可供选取，按照计数法的乘法原理，共有10?9种取法，即
2n?10?9?P10.
再确定有利于A的场合数nA：对于事件A，也有两种情形，故
nA?4?6?6?4，所以
P(A)?4?6?6?4?0.53.
10?9(2)中，也可以从另一个角度来考虑.我们设想事件A与抽取次序无关，即一次取出两个电阻，则
11C4C6P(A)??0.53. 2C10结果一致.但请注意：两种方法中，样本空间是不同的.
例1.2.3 设有n个球，每个都能以同样的概率每一个格子中，试求:
(1) 某指定的n个格子中各有一个球的概率； (2) 任何n个格子中各有一个球的概率.
11
1落到N个格子(N?n)的N解 这是一个古典概型问题，由于每个球可落入N个格子中的任一个，所以n个球在N个格子中的分布相当于从N个元素中任取n个进行有重复的排列，故共有N种可能.
在第一个问题中，有利场合相当于n个球在那指定的n个格子中全排列，总数为n!，因而所求概率为P1?nn!. Nn在第二个问题中，n个格子可以是任意的，即可以从N个格子中任意取出n个
n来，这种取法共有CN种，对于每种取定的n个格子，有利场合正如第一个问题一
样为n!，故所求概率为
nCNn!N!. P2??nnNN(N?n)!这个例子是古典概型中一个很典型的问题，不少实际问题可以归结为它.比如, 概率论历史上有一个颇为有名的问题：要求参加某次聚会的n个人中没有两个人生日相同的概率.若把n个人看作上面问题中的n个球，而把一年的365天作为格子，则N?365.这时，P2就给出所求的概率.例如：当n?40时，P2?0.109，这个概率格外的小. 此外类似的还有分房、投信、上下电梯问题等等.
.二、几何概率
前面，利用等可能性的概念，讨论了古典概型的计算.但是，对于试验的可能结果有无穷多种的情形，概率的古典定义并不适用.因此，历史上有不少人企图把这种做法推广到无限多个可能结果而又有某种等可能性的场合.
请看下面几个简单的例子.
(i) 假设甲地至乙地的快巴每隔15钟发一趟.某人来到汽车站前并不知道发车时刻表，求他等车时间少于10分钟的概率.
(ii) 如果在一个5万平方公里的海域里有表面积达40平方公里的海域储藏着石油，假如在这海域里随意选定一点钻探，问钻到石油的概率是多少？
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(iii) 在200毫升自来水中有一个大肠杆菌.今从中随机取出20毫升水样放到显微镜下观察，求发现大肠杆菌的概率.
自然会认为（i），（ii），（iii）答案分别是
104020,,.事实上，在求这些1550000200概率时，利用了几何的方法，并假定了某种等可能性.
在这类问题中，首先试验的可能结果是某区域?内的一个点，这个区域可以是一维的，也可以是二维，三维的，甚至可以是n维的，并且，这时的样本空间或感兴趣的事件个数都是无限的；其次，等可能性的意义是：向一有限区域?内随机地投掷一点M，点M落在?的任一子区域g(??)内的可能性与g的长度（或面积，或体积）成正比，而与g的形状、位置无关.
设A?{点M落入g(??)内}， 我们规定：P(A)?m(A). m(?)其中 m(?)在一维（二维或三维）情形下，表示长度（面积或体积），这种模型称为几何概型.
例1.2.4 设O为线段AB的中点，在AB上任取一点M，求三条线段
AM, MB, AO构成三角形的概率.
解 设线段AB的长度为1，M点的坐标为x，则样本空间为
??{x0?x?1}.
如图1.3所示，
图1.3
线段AM, MB, AO的长度分别为x,1?x,意两条之和大于第三条.即
1，它们能构成三角形当且仅当任213
1?x?(1?x)??2?1?x??1?x?2??(1?x)?1?x?2?，整理得
13?x?. 44于是，事件“AM,MB,AO构成三角形”可表示成A?{x|13?x?}.故 44P(A)?A??0.5.
例1.2.5 两人约好7点到8点在某地集合，先到者等候对方20分钟，过时可离去.试求两人会面的概率.
y（分钟） 20
图1.2.2
x
解 如图1.2.2所示
设其中一人到达时间为x，另一人到达时间为y，样本空间为 ??{(x,y)0?x?60, 0?y?60}. 设A表示“两人会面”，则A?{(x,y) x?y?20} 显然，这是一个几何概率问题，所以
（分钟）
602?4025P(A)??.
960214
同时，还可以计算出“一人等待另一人至少20分钟” （图中两个三角形部分）的概率
4022P(A)?2?
360特别地，若B表示事件“两人同时到达”，即B?{(x,y)x?y}，则
P(B)?0?0. 260但经验告诉我们，两人同时到达是可能发生的，这说明：概率为0的事件不一定是不可能事件；相应地，概率为1的事件也不一定是必然事件.关于这点，后面我们将会有更深地体会.
§1.3 频率与概率
人们经过长期的实践发现，虽然个别随机事件在某次试验或观察中可以出现也可以不出现，但在大量试验中它却呈现出明显的规律性——频率稳定性.
首先，用事件的语言更严格地叙述这一概念：对于随机事件A，若在n次试验中出现了?次（事件A发生的频数），则称 fn(A)?出现的频率.
那么，频率与概率之间又有什么关系呢?
以最简单的掷硬币试验为例. 掷一枚均匀硬币，出现正面或反面的机会应该相等，即在大量试验中出现正面的频率，接近于0.5，且呈现一定的规律性. 为了验证这点，历史上曾有不少人做过这个试验， 结果见表1.3.1
表 1.3.1
?n为事件A在这n次试验中
实验者 n ? fn(A) 15