P(A1)?0.4,P(A2)?0.3,P(A3)?0.2,P(A4)?0.1，
且A1,A2,A3,A4相互独立，B?A1?A2?A3?A4，因而
P(B)?P(A1?A2?A3?A4)?1?P(A1?A2?A3?A4)
?1?P(A1A2A3A4)?1?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)
?1?(1?0.4)(1?0.3)(1?0.2)(1?0.1)?0.6976.
例1.5.7 一个元件或系统正常工作的概率称为元件或系统的可靠度.如图所示的电路，假设每个元件的可靠度为p，求该系统的可靠度.
图1.5.1
解法1 设A表示“系统正常工作”，Ai表示“第i个元件正常工作”，则
P(Ai)?p,i?1,2,3,4 且A?(A1A2)?A5?(A3A4)，
所以
P(A)?P(A1A2)?P(A5)?P(A3A4)?P(A1A2A5)?P(A3A4A5) ? P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4A5) ?p?2p2?2p3?p4?p5解法2 P(A)?1?P[(A1A2)?A5?(A3A4)]
?1?[1?P(A?PA1A2)][15( )?][1P3A4(A
)]?1?(1?p2)(1?p)(1?p2)
?p?2p?2p?p?p.
例1.5.8 设甲、乙两人的射击水平相当，于是约定比赛规则：双方对同一目
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标轮流射击，直到有人命中目标为止.命中一方为该轮比赛的获胜者.试问甲、乙谁先射击获胜的概率大？
解 设 甲、乙两人每次命中的概率为p，失利的概率为p，令 （i?1,2,?），假设甲先发第一枪 ，则 Ai?“第i次射击命中目标”
P(甲胜)?P(A1?A1A2A3?A1A2A3A4A5??)
=P(A1)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3A4A5)?? =p?(1?p)2p?(1?p)4p?? =p?11. ?22?p1?(1?p)11?p?. 2?p2?p所以 P(乙胜)=1?P(甲胜)=1? 显然，P(甲胜)?P(乙胜）.这说明打第一枪的甲获胜的可能性比乙大，这就是为什么在某些运动如乒乓球，棋类等对抗赛中，需通过抽签或公平分配发球次序来解决问题的道理所在.
三、贝努里概型与二项概型
有了事件的独立性概念，我们就可以定义试验的独立性.简单地说，如果两次试验的结果是相互独立的，则称这两次试验是独立的.若n次试验的结果是独立的，那么称这n个试验相互独立.一般地，只有两个可能结果的试验称为贝努里试验.
有时在一个试验中，我们关心的可能是某个事件A是否发生，且事件A发生的概率P(A)确定，P(A)?1?p也确定.如果将贝努里试验重复地做n次，则称这样的试验为n重贝努里试验.
在客观实际中存在大量可以用nn重贝努里试验是一种非常重要的概率模型，
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重贝努里试验来解决的概率问题.下面我们来计算在n重贝努里试验中，事件A恰好发生了k(k?0,1,2,?,n)次的概率.这个概率通常记为Pn(k),k?0,1,2,?,n.
定理1.5.3 在n重贝努里试验，事件A恰好发生了k次的概率，若
P(A)?p，则
kkPn(k)?Cnp(1?p)n?k
k?0,1,2,?,n
证明 由贝努里概型知，在指定的k次试验中出现A，其余n?k次试验中出现A的概率为pk(1?p)n?k.
例如，在前面n次试验中出现A，而后面n?k次试验中出现A的概率为
p?p?p(1?p)(1?p)?(1?p)?pk(1?p)n?k.
kk由于事件A在n次试验中出现k次的方式有Cn种，而这Cn种情况所对应的
事件是两两互不相容的，故由概率的有限可加性，有
kkPn(k)?Cnp(1?p)n?kk?0,1,2,?,n
kk由于 Pn(k)?Cnp(1?p)n?k 是二项展开式的每一项，所以n重贝努里概型
也称为二项概型.
例1.5.9 某工厂一天出废品的概率为0.2，问： (1) 4天中仅有一天出废品的概率是多少? (2) 至少有一天出废品的概率是多少? (3) 最多有三天出废品的概率是多少?
解 由于一天生产只可能有两种结果：A?“出废品”，A?“不出废品”，且
P(A)?0.2,P(A)?0.8，
故四天生产可视为四重贝努里试验.记B?“4天中仅有一天出废品”，C?“至少
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有一天出废品”，D?“最多有三天出废品”， 由贝努里概型公式，有
1P(B)?P4(1)?C4(0.2)1(0.8)3?0.4096.
因为
0P(C)?P4(0)?C4(0.2)0(0.8)4?0.4096,
所以 P(C)?0.5904.
P(D)?P4(0)?P4(1)?P4(2)?P4(3)?1?P4(4)
4?1?C4(0.2)4(0.8)0?0.9984.
例1.5.10 一位医生知道某种疾病的自然痊愈率为0.25，为了试验一种新药是否有效，选取有这种疾病的10个病人服用这种新药，他事先规定一个决策规则：若在这10个病人中至少有4个人治好了，则认为这种新药有效；反之，则认为新药无效.:求：
(1) 虽然新药有效，并把痊愈率提高到了0.35 ，但试验后却被否定的概率； (2) 新药完全无效，但试验后却被判为有效的概率.
解 （1）问题是说实际上新药是有效的，并把痊愈率提高到了0.35 ，但经 10个病人服用后，痊愈的人少于 4人，依此只好认为该药无效.一个人服用此药相当于做了一次贝努里试验，在每一次试验中，病人痊愈（记为A）的概率为0.35，不痊愈（记为A）的概率为0.65，于是问题即为求：10重贝努里试验中，事件A最多出现3次的概率.
所以，P1??Ck?03k10?0.35k?0.6510?k?0.5136.
(2) 由题意，新药无效，即痊愈率为0.25，经10人服用后，痊愈的病人至少4人，因此作出了判断新药有效的错误决策.此时，病人痊愈（记B）的概率为0.25，不痊愈(记B)的概率为0.75.
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所以所求概率为 P2??Ck?4310k10?0.25k?0.7510?k
?1??C?0.25k?0.7510?k
k?0?0.224.
§1.6 全概率公式与贝叶斯公式
概率论的重要研究课题之一就是希望从已知的简单事件的概率计算出未知的复杂事件的概率.为此，经常把一个复杂事件分解为若干个不相容的简单事件之和，再利用简单事件的概率计算出复杂事件的概率.
例1.6.1 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：
元件制造厂 1 2 3 次品率 提供元件的份额 0.02 0.01 0.03 0.15 0.80 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志.现在仓库中随机地取一只，求它是次品的概率.
解 设事件A?“在仓库中随机地取一只，它是次品”.
显然，直接计算P(A)很难，由题意，考虑与事件A有关的事件.由于三家工厂的产品在仓库中是均匀混合，故我们并不知道这件产品是哪家工厂生产的，它可能是1厂，也可能是2厂或3厂生产的.若设Bi?“产品是i厂生产的” (i?1,2,3)，则事件A包含有三种可能：AB1,AB2,AB3，即A?AB1?AB2?AB3，而
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