吉首大学物理与机电工程学院2009级物理学(师范)班 《理论力学教程》试题库整理版
mh2dp?21、试导出下面有心力量值的公式F?，式中m为质点的质量，r为质点到力心的距离，
2drh?r2??常数，p为力心到轨道切线的垂直距离。
解：由于质点在有心力场中运动，因此，质点的机械能守恒，角动量守恒，在极坐标系下，质点的机械能可表达为：
12mv?V(r)?E 2h，代入上式 p由于角动量守恒，故有pv?h，v?
12?2mhp?V(r)?E 2dv(r)12dp?2?mh把上式两边对 r 求导有：? dr2dr12dp?2dv又 F(r)??； F(r)?mh
2drdr2、一段半径R为已知的均质圆弧，绕通过弧线中心并与弧面垂直的轴线摆动，求其作微振动的周期。
解：首先求质心的位置
设单位弧长的质量为?，则质心的坐标为：
??yc????RCos??ds??RCos??Rdsm??R2??R?2?????Cos?ds?RSin??
这样可求得悬挂点离质心的距离为：
?R?yc?R?R2Sin???R(1?Sin???)
其次求圆弧的转动惯量 I0?(2RSin)???2Rd?s2?3??1?R(??R3(??Sin?) ?Co)s??4d又??mSin?2，?I0?2mR((1?) 2R??由复摆动的周期公式??2?I0 mg我们有：??2?2R g3、在一光滑水平直管中，有一质量为m的小球，此管以恒定角速度?绕通过管子一端的竖直轴转动，如果起始时，球距转动轴的距离为a，球相对于管子的速度为零，试由拉格朗日方程求小球沿管的运动规律。
解：小球的绝对速度为v?x?x?
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2222吉首大学物理与机电工程学院2009级物理学(师范)班 《理论力学教程》试题库整理版
因而动能为T? 势能为v?0
1m(x2?x2?2) 21L?T?V?m(x2?x2?2)
2d?L?L 由()??0可得小球的运动方程为：mx?mx?2?0
dt?x?x即x??x?0。
上式的通解为：x?Ae?Be x?A?e?B?e?t??t2?t??t
利用初始条件，t?0，x?a，x?0。可得A?B?故小球沿管的运动规律线为x?a 2a?t??t(e?e)?ach?t 2理论力学（卷D）[03B]
一、判断题（对的打“√”，错的打“×”, 每题2分） 1、法向加速度是因为速度的大小变化所引起的。 2、非保守力做功与路径无关。
3、在有心力场中运动的质点角动量守恒，机械能守恒。 4、内力不改变质点组的总动量。 5、刚体作一般运动时，自由度是6。 6、内力不改变质点组质心运动状态。
7、若作用在刚体上的所有外力的力矩的矢量和为零，则刚体处于平衡状态。
8、由于地球是一个转动参照系，惯性离心力的作用将使重力加速度随着纬度而变化。 9、自由落体偏东是科里奥利力的影响。
10、虚位移是约束许可的条件下，可能发生的位移，是不需要时间的。
1、×；2、×；3、√；4、√；5、√；6、√；7、×；8、√；9、√；10、√ 二、填空题（每题4分）
21、在极坐标系下，质点的横向加速度为a??r??2r?。径向加速度为ar?r?r?。
2、相对性原理可表述为 所有的惯性系对于描述力学现象都是平权的，等价的 。。 3、由于有心力为保守力，因而 机械能 守恒。
4、作定点转动刚体上任意一点的线速度与角速度的关系为v???r。 5、刚体的平衡条件为F?0、M?0。
三、选择题（每题5分）
1、在有心力场中运动的质点，下列说法正确的是（2） （1）动量守恒，角动量守恒，机械能守恒。 （2）动量不守恒，角动量守恒，机械能守恒。 （3）角动量不守恒。 （4）机械能不守恒。
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2、细杆绕通过杆的一端O点的水平轴转动，在重力作用下，当无初速地自水平位置转到竖直位置时，细杆的角速度?为（3） （1）??g； （2）??3g3g6g； （3）??； （4）??。 23、质量为m1和m2的两自由质点互相吸引，它们之间的引力势能为?止状态，其间距离为a，当两质点的距离为
km1m2，开始时，两质点皆处于静r1（1） a时，质量为m1的质点的速度可表为：
2（1）v1?m22k2k2k2k（2）v1?m1（3）v1?m2（4）v1?m2 a(m1?m2)a(m1?m2)am1am24、自由质点在球坐标系下的拉格朗日量为（设势能为V(r)）（1）
11m(r2?r2?2?r2Sin2??2)?V(r) （2）L?m(r2?r2?2) 22121222（3）L?mr （4）L?mrSin??
22（1）L?
四、计算题（第1题15分，第2题15分，第3题10分）
1、小环的质量为m，套在一条光滑的钢索上，钢索的方程式为x?4ay，试求小环自x?2a处自由滑至抛物线顶点时的速度及小环在此时所受到的约束反作用力。
解：小环的受力情况如图所示，采用自然坐标，小环的运动微分方程为：
2mm又
dv?mgSin? dtv2??R?mgCos?
dvdvdsdv??v dtdsdtdsdySin???
dsdvdy?mv??mg， vdv??gdy
dsds v?2ag 又根据
1??y??(?y)'232， y??x1， y??? 2a2a1，所以 ??2a 2a 在抛物线顶点处y??0，y??? R?mv2?y?mgCos??2mg
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2、矩形均质薄片ABCD，边长为a与b，重为mg，绕坚直轴AB以初角速?转动。此时薄片的每一部分均受到空气的阻力，其方向垂直薄片的平面，其量值与面积及速度平方成正比，比例系数为k，问经过多少时间后，薄片的角速度减为初角速度的一半？
解：由题意，把矩形薄片分成许多小窄条，对dx的窄条所受的阻力为F?kb(?x)dx
23力矩为：dMz??kb?xdx
2a总力矩为：Mz??kb?2x3dx???01kb?2a4 4由转动定理：ma最后可解出：t?132d?1??kb?2a4 dt44m
3kba2?03、在极坐标系下，写出质点在平方反比引力场中的拉格朗日量，并推导出质点的运动微分方程。 解：在极坐标系下，粒子的动能为T?1m(r2?r2?2) 2mk2对于平方反比引力，势能为：V(r)??
r1mk2222拉格朗日量为：L?m(r?r?)?
2r由拉格朗日方程
d?L?L()??0有 dt?q??q??Lmk2mk2?L222?m?r?2，m(r?r?)??2 ?mr，?rrr?r?L?L?mr?2， ?0 ????d?(mr2?)?0 即：mr2??常数 dt理论力学（卷E）[04A]
一、判断题（对的打“√”，错的打“×”，每题2分）
1、作匀速圆周运动的质点的向心加速度，是由于速度的方向变化引起的。 2、平方反比引力是保守力。
3、在有心力场中运动的质点的角动量不守恒。 4、对于质点组来说，所有内力的矢量和为零。 5、内力对质点组质心的运动没有影响。 6、作一般运动的刚体的自由度是3
7、刚体的重心和质心无论在什么情况下都是重合在一起的。
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8、如果质点相对于转动参照系静止，则科里奥利加速度为0
9、由于地球自转的影响，赤道处的重力加速度将大于地球两极的重力加速度。 10、虚功原理可表述为，对于处于平衡状态的力学体系，诸约束力在任意虚位移中所作的虚功之和等于零。 1、√； 2、√； 3、×； 4、√； 5、√；6、×； 7、×； 8、√； 9、×； 10、×
二、填空题（每题4分）
1、在极坐标系中，径向速度大小的变化所引起的加速度为r，横向速度大小的变化所引起的加速度为
r??r?。
2、惯性力的主要特点是 没有施力者，没有反作用力 。
3、若地球半径为6400km，重力加速度为9.8ms，则第一宇宙速度的量值为7.9kms 4、柯尼希定理表述为 质点组的总动能等于质心的平动动能加相对质心系的动能_ 5、若拉格朗日函数L中不显含广义坐标q?，则q?称为 循环坐标 。
2三、选择题（每题5分）
1、在平方反比引力作用下，质点作平面运动，若采用平面极坐标，则体系的拉格朗日函数为（2）
1mk21222222（1）L?m(r?r?) （2）L?m(r?r?)?
2r212mk2122mk2（3）L?mr? （4）L?mr??
2r2r2、设v1为第一宇宙速度，则第二宇宙速度为（4）
（1）2v1 （2）3v1 （3）5v1 （4）2v1
3、半径为a，质量为M的薄圆片，绕垂直于圆片并通过圆心的竖直轴以匀角速度?转动，则绕此轴的
动量矩为：（2） （1）J?1122Ma2?， （2）J?Ma2?， （3）J?Ma2?， （4）J?Ma2? 3235''''4、对于空间转动参照系，科里奥利力定义为（3）
（1）??v， （2）2m??v （3）?2m??v （4）?m??v
四、计算题（第一题15分，第二题15分，第三题10分）
1、矩形均质薄片ABCD，边长为a与b，重为mg，绕竖直轴AB以初角速度?0转动，此时薄片的每一部分均受到空气的阻力，其方向垂直于薄片的平面，其量
值与面积及速度平方成正比，比例系数为k，问经过多少时间后，薄片的角速度减为初角速度的一半？
解：如图示；对面元b dx，所受的力为F?kbdx(x?)
a2则力矩为Mz??kb?xdx??0?231kb?2a4 4第10页，共13页