和傅立叶变换类似，离散傅立叶变换的本质就是将信号的样点序列表示成一系列加权的旋转向量样点序列之和。而逆变换则要求出这一些加权系数。即：
将离散傅里叶变换的表达式拆开成N个式子：
从N个方程中求解N个未知数，这个问题的实质就是求N元一次方程组的解。
若用矩阵运算表示出DFT和IDFT的表达式：
1.2.2.3.1. FFT快速傅里叶变换
1.2.2.3.1.1. 按时间抽选的基-2 FFT算法 1.2.2.3.1.2. 按频率抽选的基-2 FFT算法 1.2.2.3.1.3. 基4 FFT算法
1.2.2.4. LTE-A的SC-FDMA基带信号
RB?NULRBNsc/2?s(p)l(t)?RBk??NULNRBsc/2RBfor0?t??NCP,l?N??Ts where k(?)?k??NUL kHz and ak,l is RBNsc2?, N?2048, ?f?15the content of resource element?k,l?.
??a?(p)k(?),l?ej2?(k?1/2)?f(t?NCP,lTs)
一个时隙中的sc-fdma符号从l=0开始按照l增序进行传输，其中具体sc-fdma符号l从一个时隙中的 输入参数 ULNRB ?l?1l??0。 (NCP,l??N)Ts时刻开始（l>0）
输出参数 说明 一个上行时隙中第l个sc-fdma符号对应的时间连续信号，已映射到P天线端口 说明 循环前缀长度，见下面表格 子载波间隔，15kHz Ts?1?15000?2048? seconds FFT的大小，N?2048 说明 RB为上行带宽，Nsc的倍数，取决于小区中的上行传输带宽的配置，满足min,ULULmax,UL6=NRB=110 ?NRB?NRBRBNsc sl (p)?t?资源块中包含的子载波数 资源粒子中对应的具体内容,其中k为映射的子载波，l为第l个sc-fdma符号，p为天线端口。 对应时隙中sc-ofdm符号的个数 其它参数 NCP,l ak,l l ?f Ts N
1.2.2.5. LTE-A的OFDM基带信号
?1DLRBNsc/2??NNBs
(p)l(t)??DLRBk??NNBNsc/2?a?(p)k(?),l?ej2?k?f(t?NCP,lTs)??k?1a(p)k(?),l?ej2?l?f(t?NCP,lTs)for 0?t??NCP,l?N??Ts where k(?)DLRBDLRB?k??NRBNsc2? andk(?)?k??NRBNsc2??1. The
variable N equals 2048 for ?f?15 kHz subcarrier spacing and 4096 for ?f?7.5 kHz subcarrier spacing.
一个时隙中的OFDM从l?0增序进行传输，其中具体OFDM符号l在一个时隙中的开始时间是
?l?1l??0(NCP,l??N)Ts.（l?0）.
另外，当一个时隙中的第一个OFDM 符号是使用常规CP（或者前几个都用常规CP），而其他符号使用扩展CP时，使用扩展CP的OFDM符合的起始位置等于一个时隙中所有的OFDM符号使用扩展CP的情况。这样两个不同的循环前缀区域之前存在一部分未定义传输信号的时间部分。（即使用两种循环前缀的区域之间会存在未定义传输信号的时间间隔）
输入参数 DLNRB 说明 Downlink bandwidth configuration（构造外型）min,DLDLmax,DL?NRB?NRB6=NRB=110 资源块中包含的子载波数 Value of resource element (k,l) [for antenna portp] 对应时隙中ofdm符号的个数 其它参数 NCP,l 格 ?f Ts 说明 循环前缀长度，见下面表RBNsc (p)ak,l 子载波间隔，15kHz或7.5kHz Ts?1?15000?2048? seconds FFT的大小，取决于子载波间隔：?f=15kHz，l N N?2048； ?f?7.5 kHz，N=4096. 输出参数 sl(p)?t? 说明 一个下行时隙中第l个OFDM符号在天线端口p上的时间连续信号 k(?)，k(?)，k 都是中间变量 1.2.2.6. PRACH随机接入信道的基带信号
NZC?1NZC?1?j2?nkNZCs(t)??PRACH??k?0n?0xu,v(n)?e?ej2?(k???K(k0?1))?fRA(t?TCP)2其中0?t?TSEQ?TCP，
输入参数 说明 随机接入前导序列 其它参数 说明 随机接入前导序列的长度 xu,v(n) NZC ? 固定的偏移值，表示资源块中随机接入前导的频域位置 ?fRA，K 为表示随机接入前导与上行数据直接的子载波间隔的差别，存在关系K??f?fRA。 一个幅值因子 k0 输出参数 S(t) RARBULRBk0?nPRBNsc?NRBNsc2?PRACH Tcp 说明 时间连续随机接入信号 随机接入前导序列中CP的长度 随机接入前导序列中序列部分的长度 中间变量 TSEQ k Random access baseband parameters: Preamble format 0-3 4 ?fRA 1250hz 7600hz ? 7 2 1.2.3.循环前缀
1.2.3.1. 子载波间干扰
为了实现无码间串扰，需要在码元间增加保护间隔，如下图所示：
但这会带来一个问题，因为OFDM是利用了正交性，如下图，这样的子载波相乘后积分为0：