函数y?xf(x)（0?x?1）的图象与x轴围成的图形的面积为 .
a有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，a]上是减函数，xc2ya,??x在?上是增函数．研究函数＝＋（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说2?x3、已知函数y＝x＋
?明理由。
4、设函数y?f(x)和y?g(x)都有某种性质P，如果函数y?f(x)g(x)仍然具有性质P。我们称函数性质P在乘法运算下是“可保持的”。 （1）、如果函数y?f(x)和y?g(x)都是偶函数。证明：其偶函数的性质在乘法运算下是“可保持的”。（2）、如果函数y?f(x)和y?g(x)在区间D上都是单调递增函数，请给出一个充分条件，使得单调递增的性质在乘法运算下是“可保持的”，并给出证明。
25、已知函数f(x)?x?ax(x?0，常数a?R)．
（1）讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
??)上为增函数，求a的取值范围． （2）若函数f(x)在x?[2，
四、课后练习：（30分钟）
1、设函数f(x)的定义域为R，有下列三个命题：（1）若存在常数M，使得对任意x?R，
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有f(x)?M，则M是函数f(x)的最大值；（2）若存在x0?R，使得对任意x?R，且x?x0，有f(x)?f(x0)，则f(x0)是函数f(x) 的最大值；（3）若存在x0?R，使得对任意x?R，有f(x)?f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的最大值。这些命题中，真命题的个数是 （ ） （A）0个. （B）1个. （C）2个. （D）3个.
2??x?4xx?022、函数f(x)??，则不等式f(2?x)?f(x)的解集是 ． 2?x?0?4x?x
3、已知函数f(x)满足：①对任意x?(0,??)，恒有f(2x)?2f(x)成立；②当x?(1,2]时，
f(x)?2?x.若f(a)?f(2020)，则满足条件的最小的正实数a是 .
?x, x?P，其中P、M为实数集R的现，两个非空子集，又规定
?x, x?M?A?{y|y?f(x),x?P},B?{y|y?f(x),x?M}，给出下列三个判断： ①若P?M??，则A?B??；②若P?M?R，则A?B?R；
③若P?M?R，则A?B?R.其中错误的判断是___________(只需填写序号).
4、函数f(x)??
1?x?3}，函数f(x)?log2(ax2?2x?2)的定义域为Q. 212（I）若P?Q?[,),P?Q?(?2,3]，则实数a的值为 ；
23（II）若P?Q??，则实数a的取值范围为 .
5、已知集合P?{x|
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资优生专题讲座四：函数综合题2
一、 知识点整理：
幂函数、指对数函数、反函数以及三角方程
二、基本要求：
1、已知函数f?x?存在反函数f?1?x?，方程f?x??x?0的解集是P，方程
f?x??f?1?x??0的解集是Q，那么一定有（ ）
A. P?Q ； B. Q?P ； C. P?Q ； D. P?Q??
2、已知关于x的方程x2?6x+（(a?2)x?3+9?2a?0有两个不同的实根，则实数a的取值范围（ ）A.a?0或a??2 ； B. a?0 ； C. a?0 ； D. a??2 3、设方程2xlog2x?1的两实根为x1,x2(x1?x2),则（ ） A.x1?0?x2;B.0?x1?1,x2?2;C.x1x2?1;D.0?x1x2?1
2x?a4、设常数a?0，函数f(x)?x
2?a（1）若a=4，求函数y?f(x)的反函数y?f?1(x)；
（2）根据a的不同取值，讨论函数y?f(x)的奇偶性，并说明理由.
三、例题精讲：
1、对定义域是Df、Dg的函数
y?f(x)、y?g(x)，规定：
?f(x)g(x),当x?Df且x?Dg??h(x)??f(x),当x?Df且x?Dg 函数
???g(x),当x?Df且x?Dg（1）、若函数
12f(x)?，g(x)?x，写出函数h(x)的解析式；
x?1（2）、求问题（1）中函数h(x)的值域；
?f(x??)，其中?是常数，且???0,??，请设计一个定义域为函数y?f(x)，及一个?的值，使得h(x)?cos4x，并予以证明.
（3）、若g(x)
R的
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2、已知集合M是满足下列性质的函数有
f(x)的全体：存在非零常数T，对任意x?R，
f(x?T)?Tf(x)成立。（1）、函数f(x)?x是否属于集合M？说明理由。
（2）、函数
f(x)?ax（a?0且a?1）的图像与y?x的图像有公共点，证明：
f(x)?ax?M（3）、若函数f(x)?sinkx?M，求实数k的取值范围.
3、我们把形如y?b?a?0,b?0?的函数因其图像类似于汉字“囧”字，故生动地称为“囧x?a函数”，并把其与y轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当a?1，b?1时，所有的“囧圆”中，面积的最小值为_________.
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4、设f(x)?(1?a)x4?x3?(3a?2)x2?4a，试证明对任意实数a： （1）方程f(x)?0总有相同实根； （2）存在x0,恒有f(x0)?0
5、 试构造函数f(x),g(x）的定义域为?0,1?，值域为?0,1?
（1） 对于任意a??0,1?，f(x)?a只有一解； （2） 对于任意a??0,1?，g(x)?a有无穷个解；
当堂反馈：
1、 已知函数f(x)（x?R），对任意x?R都有f(?x)?f(x)，但该函数不具有奇偶性，
请举出符合条件的一个既不是奇函数又不是偶函数的例子
2、对区间I上有定义的函数g(x)，记g(I)?{y|y?g(x),x?I}，已知定义域为[0,3]的
?1?1?1函数y?f(x)有反函数y?f(x)，且f([0,1))?[1,2),f((2,4])?[0,1)，若方程
f(x)?x?0有解x0，则x0?_____
3、若f(x)?x?x
23?12，则满足f(x)?0的
x的取值范围是_________
x2,?x?R,且x?2?（1）求f?x?的单调区间；4、已知函数f?x??（2）若函数x?2（3）设a?1，函数g?x??x2?2ax与函数f?x?在x??0,1?时有相同的值域，求a的值；
h?x??x3?3a2x?5a,x??0,1?，若对于任意x1??0,1?，总存在x0??0,1?，使得
h?x0??f?x1? 成立，求a的取值范围.
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