资优生专题讲座五：函数综合题3
1、已知函数y?f(x)的图像(如图所示)过点(0,2)、(1.5,2)和点(2,0)，且函数图像关于点(2,0)对称;直线x?1和x?3及y?0是它的渐近线.现要求根据给出的函数图像研究函数
1的相关性质与图像, g(x)?f(x) (1)写出函数y?g(x)的定义域、值域及单调递增区
间;
（2）作函数y?g(x)的大致图像（要充分反映由图像及条件给出的信息）;
（3）试写出y?f(x)的一个解析式,并简述选择这个式子的理由(按给出理由的完整性及表达式的合理、简洁程度分层给分).
2、设a?R，函数
f(x)?x?|x?a|?2x。（1）若a?2，求函数f(x)在区间
[0,3]上的最大值；（2）若a?2，写出函数f(x)的单调区间（不必证明）；（3）若存
在a?[?2,4]，使得关于
的取值范围.
x的方程f(x)?t?f(a)有三个不相等的实数解，求实数t
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3、设f(x)为定义域为R的函数，对任意x?R，都满足：f(x?1)?f(x?1)，
f(1?x)?f(1?x)，且当x?[0,1]时，f(x)?3x?3?x.
（1）请指出f(x)在区间[?1,1]上的奇偶性、单调区间、最大（小）值和零点，并运用相关
定义证明你关于单调区间的结论；
（2）试证明f(x)是周期函数，并求其在区间[2k?1,2k](k?Z)上的解析式．
4、设非空集合S??xm?x?l?满足：当x?S时，有x2?S。给出如下三个命题：①若
1112，则?l?1；③若l?，则??m?0。其中正确2422m?1，则S???1；②若m??命题的是
5、设二次函数f(x)?ax2?bx?c
（1） 若a?b?c,f(1)?0，试证明：f(x)必有两个零点； （2） 若对x1,x2?R,且x1?x2，f(x1)?f(x2),方程f(x)?不等实根，证明必有一实根属于?x1,x2?
f(x1)?f?x2?2必有两个
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资优生专题讲座六：数列综合题分析
一、 知识点整理：
数列的概念、等差数列与等比数列、数列的极限与数学归纳法 二、基本要求：
9n??n?1?1、?an?的通项公式为an?，则?an?的最大项为 n10111a1?2a2????nan?2n?5，则an? 2223、互不相同的点A1,A2?,An,?和B1,B2?,Bn,?分别在角O的两条边上，所有AnBn相互
2、数列?an?满足
平行，且所有梯形AnBnBn?1An?1的面积均相等。设OAn?an.若a1?1,a2?2,则数列?an?的通项公式是_________。
4、设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai,ai?1的矩形的面积（i?1,2,?）， 则{An}为等比数列的充要条件是（ ）
（A）{an}是等比数列；（B）a1,a3,?,a2n?1,?或a2,a4,?,a2n,?是等比数列； （C）a1,a3,?,a2n?1,?和a2,a4,?,a2n,?均是等比数列；
（D）a1,a3,?,a2n?1,?和a2,a4,?,a2n,?均是等比数列，且公比相同.
5、设?an?是首项大于零的等比数列，则“a1?a2”是“数列?an?是递增数列”的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件
6、已知数列{an}的通项公式为an?n?13，那么满足ak?ak?1???ak?19?102的正整数k=________
?a11a12a13???7、由9个互不相等的正数组成的矩阵?a21a22a23?中，每行中的三个数成等差数列，且a11?a12?a13、
?a??31a32a33?a21?a22?a23、a31?a32?a33成等比数列，下列四个判断正确的有（ ）①第2列
②第1列a11,a21,a31不一定成等比数列；③a12?a32?a21?a23 ；a12,a22,a32必成等比数列 ；④若9个数之和等于9，则a22?1
（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个
8、已知等比数列?an?中a2?1，则其前3项的和S3的取值范围是
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三、综合要求
1、在等差数列?an?中，设Sn为它的前n项和，若S15?0,S16?0,且点A(3,a3),B(5,a5)都在斜率为-2的直线l上。（1）求a1的取值范围
SSS（2）指出1,2,...,15中哪个值最大，并说明理由
a1a2a15
2、已知数列?an?,?bn?的通项公式分别是an?3n，bn?4n?3(n?N?),若
d??a1,a2,...???b1,b2,...?，则称d为数列?an?,?bn?的公共项。将数列?an?,?bn?的公共项按
它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列?dn?，试推导数列?dn?的通项公式，并证明
23、设二次函数f(x)?(k?4)x?kx(k?R)，对任意实数x，有f(x)?6x?2恒成立；数列{an}满足an?1?f(an).（1）求函数f(x)的解析式和值域；（2）试写出一个区间(a,b)，使得当a1?(a,b)时，数列{an}在这个区间上是递增数列，并说明理由；
4、设a1，a2，?，an是各项不为零的n（n?4）项等差数列，且公差d?0．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对?n,??a1??所组成的集d?合为______________________
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5、已知有穷数列{an}共有2k项（整数k≥2），首项a1＝2．设该数列的前n项和为Sn， 且an?1＝(a?1)Sn＋2（n＝1，2，┅，2k－1），其中常数a＞1． （1）求证：数列{an}是等比数列； （2）若a＝2
22k?1，数列{bn}满足bn＝
1log2(a1a2???an)（n＝1,2,?,2k），求数列{bn}n3333|＋|b2－|＋┅＋|b2k?1－|＋|b2k－|的通项公式；
（3）若（2）中的数列{bn}满足不等式|b1－222≤4，求k的值．
6、已知数集A??a1,a2,?an??1?a1?a2??an,n?2?具有性质P；对任意的
i,j?1?i?j?n?，aiaj与
aja两数中至少有一个属于A.
i（Ⅰ）分别判断数集?1,3,4?与?1,2,3,6?是否具有性质P，并说明理由；
（Ⅱ）证明：aa1?a2???an1?1，且a?1?1?1?an； 1?a2???an（Ⅲ）证明：当n?5时，a1,a2,a3,a4,a5成等比数列.
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