xa2?x22 ?x?asint， 则 t?arcsin，cost?1?sint?aaa2xxarcsin??a2?x2?c ? 原式?2a21 例 求 ?dx(a?0)
22x?a22 解： 利用 1?tant?sect
????2 令x?atant???t?? 则 dx?asectdt
2??211asec2tsec2t?x2?a2dx?a?tan2t?1dt??sectdt??sectdt?ln|sect?tant|?c1
?x?atant ，则 sect?1?tan2t
xa2?x2x?x?? 原式?ln1?????c1?ln??c1?ln|a2?x2?x|?caaa?a? 例 求
2(c?c1?lna)
dx?3x6?x
?1 t 解：被积函数分母变量次数较高时，可使用倒代换，令xx?1t1213x5?1dxt411155t?3x6?x??31dt???3?t5dt?5?3?t5d3?t?5ln|3?t|?c?5lnx5?c
?6tt???补充公式：（P158）
?tanxdx??ln|cosx|?c （17） ?cotxdx?ln|sinx|?c
（18） ?secxdx?ln|secx?tanx|?c （19） ?cscxdx?ln|cscx?cotx|?c
（16）
dx1xdx1x?a?arctan?c （21） ?ln?a2?x2a?x2?a22ax?a?c
a1x1（22） ?dx?arcsin?c （23） ?dx?ln(x?x2?a2)?c
aa2?x2x2?a21（24） ?dx?ln(x?x2?a2)?c
x2?a2 （20）
例 求下列积分（学生先做） （1）
?1?x1x3dx dxdx ； （2）? ； （3）2?222x?19?x9?xxxcosxdxe，??cosxdx3、分部积分法
前面学习的换元积分法虽然解决了许多积分的计算问题，但有些积分，如：设
，
?lnxdx等，用换元积分法是无法计算的。现由两个函数乘积的微分法则，推出求积分的另一种方法：分部积分法。
u?u(x)，v?v(x)具有连续导数，由乘积的微分法则d(u?v)?v?du?u?dv 有 u?dv?d(u?v)?v?du，
?u?dv?u?v??v?du 上式称为分部积分公式。其作用是若求?u?dv比较困难，而求?v?du比较容易时，
可用公式化难为易，上式还可以写为?u?v?dx?u?v??v?du 例 求 ?xcosxdx
两边积分得 解：设
u?x ，dv?cosxdx?dsinx 则
?xcosxdx??x?dsinx?xsinx??sinxdx?xsinx?cosx?c
x2x21?cosx??x2sinxdx 但如果取 ，则?xcosxdx??cosxd222上式右边的积分比原积分更复杂，更难求解。因此，在使用分部积分法时，恰当的选取u和dv是一个关键，一般考虑下列
两点：
（1） （2）
x2u?cosx，dv?xdx?d2v要容易求得；
?v?du要比?u?dv容易计算。
n 一般地，下列类型的被积函数考虑用分部积分公式：xsinmx,xncosmx,enxsinmx,enxcosmx,xnemxxnlnx,xnarcsinmx,xnarccosmx,xnarctanmx 等等。
，
例 求
?xexdx
解： 设
u?x，dv?exdx?dex 则
?xe?x2xdx??xdex?xex??exdx?xex?ex?c
2xx?edx
例 求 解
exdx??x2dex?x2ex?2?xexdx?x2ex?2?xdex?x2ex?2xex?2?exdx?ex(x2?2x?2)?c
注：若被积函数是幂函数（指数为正整数）与指数函数或正（余）弦函数的乘积时，可设幂函数为u。
3例 求 ?xlnxdx
x4x4x41?14?3?lnx???dx 解： 令 u?lnx，dv?xdx?d?x??xlnxdx??lnxd444x?4?x41?lnx?x4?c
416xdx 例 求 ?x?arctan3注：若被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积，可设对数函数或反三角函数为u。 例 求
x2 解： 令 u?arctanx,dv?xdx?d
2x2x2x21x?arctanxdx?arctanxd?arctanx?????21?x2dx
22x211x21?1??arctanx?x?arctanx?c ?arctanx???1?dx?222222?1?x??arcsinxdx
u?arcsinx,dv?dx
11?x2dx?xarcsinx? 解： 设
?arcsinxdx?xarcsinx??x?例 求 解： 例 求 解
112d(1?x)?xarcsinx?1?x2?c ?21?x2?lnxdx
1lnxdx?xlnx?x???xdx?xlnx?x?c x?esinxdx
：
xxxxxxxxxesinxdx?sinxde?esinx?ecosxdx?esinx?cosxde?esinx?ecosx?e?????sinxdx
移项得
2?exsinxdx?ex(sinx?cosx)?c0
1c0) 2注： 若被积函数是指数函数与正（余）弦函数的乘积时，此时u,dv 可随意取，但两次分部积分中，u必须是同类型。
即
xe?sinxdx?1xe(sinx?cosx)?c2(c?例 求
?x?ln22xdx
2x2x211??ln2x??x2?2lnx?dx 解： ?x?lnxdx??lnxd222x
x2xx2x2121x2x222??lnx??lnxd??lnx?lnx??x?dx?lnx?(lnx?1)??c
22222x24例 求 ?sinxdx
解： 令
x?t,x?t2,dx?2tdt
?sinxdx?2?tsintdt??2?tdcost??2tcost?2?costdt
??2tcost?2sint?c??2xcosx?2sinx?c
课后作业及小结：
1、学习了第一换元法、第二换元法与分部积分法 2、熟练运用3种运算方法。 作业：P162.2,3,4
第三节：有理函数的不定积分（略）
第四节：定积分的概念与性质
1、实例分析
在初等数学里，我们学习了多边形及圆等特殊图形的面积，但在实际应用中，往往需要计算以曲线为边的图形的面积.任意曲线所围成的平面图形的面积的计算,依赖于曲边梯形面积的计算，所以我们先讨论曲边梯形面积的计算问题.
在直角坐标系中，由闭区间[a,b]上的一条连续曲线我们知道，当
y?f(x)(f(x)?0)，直线x?a,x?b及x轴所围成的平
面图形，称为曲边梯形，如图所示. 如何计算曲边梯形的面积S呢？
f(x)?c时，曲边梯形就是矩形，其面积可由公式 S?(b?a)?c
来计算.当f(x)不等于常数时，曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在区间[a,b]上是变化的，故不能用初等数学的方法来计算面积.然而f(x)在区间[a,b]上是连续的，在很小一段区间上它的变化很小，近似于不变，基于这一认识，我们用平行于y轴的直线将曲边梯形分割成若干个小的曲边梯形，对于每个小曲边梯形，因其底边所在区间长度很小，所以其上的高近
似不变，因而它可近似地看作是底边相同，而高为底边上某一点的函数值所构成的这样一个小矩形.所有这些小矩形面积之和可作为曲边梯形面积的一个近似值.显然,分割越细密，近似程度就越高，从而，将曲边梯形无限细分，所有小矩形面积之和的极限值就是曲边梯形面积的精确值.根据上述思想，我们采用“分割—近似代替—求和—取极限”的过程来计算曲边梯形面积S. （1）分割：把以区间 在
?a,b?为底边的曲边梯形分成若干个小曲边梯形.
?a,b?内插入n?1个分点：
a?x0?x1?x2??xk?1?xk???xn?1?xn?b 把区间[a,b]任意分成n个小区间：
?x0,x1?，x1,x2，…，?xk?1,xk?，…，?xn?1,xn?
??
记第i个小区间[xi?1,xi]的长度为?xi?xi?xi?1（i?1,2,?n）,过各分点xi作平行于y轴的直线，于是原曲边梯形被分成n个以这些小区间为底边的小曲边梯
形.
(2) 近似代替：求小曲边梯形面积的近似值.
当第i个子区间[xi?1,xi]的长度?xi很小时，f意一点?i处的函数值
(x)在其上的变化也很小，因此可以把该子区间上任 图5-2
f(?i)（xi?1??i?xi）作为第i个小曲边梯形的近似高度，从而它的面积?si可用以f(?i)为高，
?si?f(?i)?xi(i?1,2,3?,n).
?xi为宽的矩形面积去近似替代，即
(3) 求和：求原曲边梯形面积的近似值.
把这n个小曲边梯形面积的近似值加起来，即得曲边梯形面积S的近似值Sn：
S?Sn?f(?1)?x1?f(?2)?x2???f(?n)?xn=?f(?i)?xi.
i?1n（4）取极限：求原曲边梯形面积的精确值. 记??max{?x1,?x2,?,?xn}，当??0时，分点的个数无限增多，上面和式的极限如果存在，那就是曲边梯形
S?limSn?lim?f??i??xi.
??0??0i?1n面积的精确值，即
2、定积分的定义
f(x)在区间[a,b]有定义,在[a,b]内任意插入n?1个分点：
a?x0?x1?x2???xn?1?xn?b，
此分法表示为T.分法T将[a,b]分成n个小区间：
[x0,x1],[x1,x2],?,[xi?1,xi],?,[xn?1,xn],
第i个小区间[xi?1,xi]的长度为?xi?xi?xi?1.在[xi?1,xi]中任取一点?i(i?1,2,3定义 设
…
n)，作和数
Sn??f(?i)?xi，称为f(x)在[a,b]上的积分和. 令
i?1n??max{?x1,?x2,?,?xn},
如果当??0时，和数Sn趋于确定的极限I称为
，且I与分法T无关，也与?i在[xi?1,xi]中的取法无关，则称
baf(x)在[a,b]上可积，极限If(x)在[a,b]上的定积分，记作?f(x)dx. 即
?其中
baf(x)dx?lim?f(?i)?xi.
??0i?1nf(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a与b叫做积分的下限与上限.利用定积分的定义，
前面所讨论的实际问题可以分别表述如下：曲线y?f(x)（f(x)?0）,直线x?a,x?b及x轴所围成的面积S等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积分．即
S??f(x)dx．
ab注：（1）如果当?（2）若函数被积函数
?0时，积分和Sn不存在极限，则称f(x)在区间[a,b]上不可积.
baf(x)在区间上可积，则它在[a,b]上的定积分?f(x)dx是一个常数，这个常数仅与积分区间[a,b]和
baf(x)有关，而与积分变量的符号无关,所以尽可以把积分变量换成别的字母而不改变定积分的值,即
?① 若函数② 若函数
f(x)dx??f(t)dt??f(u)du??f(y)dy.
aaabbb（3）在定积分的定义中，[a,b]是一个区间，所以有aab?b. 为了记号上的方便，引入下面的补充说明：
baf(x)在区间[a,b]上可积，则?f(x)dx???f(x)dx； f(x)在点a处有定义，则?f(x)dx?0.
aa对于定积分，函数出以下两个充分条件．
定理1 设
baf(x)在[a,b]上满足怎样的条件，f(x)在[a,b]上一定可积?这个问题我们不作深入讨论，而只给
f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积．
定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积．
例1 求
?xdx(a?b).
y?x在区间[a,b]上连续，从而在区间[a,b]上可积.将区间[a,b]分成n等分，选取
i(b?a),i?1,2,?,n， ?i?a?n解 函数
作积分和Sn???ii?1nb?a. 则由定积分的定义可知，有 n?从而
baxdx?limSn，
n???bab?a(n?1)b?(?n1)a122b?an?i(b?a)??lim? ?(b?a) xdx?limSn?lima???n??n??n??n22ni?1?n??3、定积分的几何意义
由曲边梯形的面积公式及定积分的定义可以得出在[a,b]上连续函数（1）若在[a,b]上，
baf(x)的定积分的几何意义如下：
f(x)?0，则定积分?f(x)dx表示由曲线y?f(x), x轴及直线x?a,x?b所围成的曲边f(x)?0，则定积分?f(x)dx表示上述曲边梯形的面积的相反数（如图5-4所示）；
aba梯形的面积（如图5-3所示）； （2）若在[a,b]上，（3）若函数
bf(x)在[a,b]上有正有负, 则定积分?f(x)dx表示各部分面积的代数和（如图5-5所示）.
o a b x
图5-3 图5-4
4、定积分的性质
性质1 被积函数中的常数因子可以提到积分号的外面,即有
y y o a b x y + - x o a b - 图5-5
+ + ?? 证明
babbakf(x)dx?k?f(x)dx（k为常数）.
abbb性质2 两个函数代数和的积分等于各个函数积分的代数和，即
[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx.
aan?a[f(x)?g(x)]dx?lim?[f(?i)?g(?i)]?xi
??0ni?1
b?lim?f(?i)?xi?lim?g(?i)?xi
??0bi?1n??0i?1这一性质可以被推广到n个函数的情形.即
??f(x)dx??g(x)dx.
aab??kf(x)?ka1122f(x)?????knfn(x)?dx ?k1?f1(x)dx?k2?f2(x)dx?????kn?fn(x)dx.
aaabbb 性质3（定积分的可加性）若函数则对任意的a,b,c?I，
性质4 如果在区间[a,b]上
bacf(x)在区间Ib上可积，
?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx.
acf(x)?1，则
?这个性质的证明请读者自己完成． 性质5（保号性） 若函数
ba1dx??dx?b?a．
abf(x)在区间[a,b]上可积，且f(x)…0,，则