?例8 求
??2020exsinxdx.
???20x解
?esinxdx?x?20sinxd(e?)esinx??0xx2eco xsdx??20??x0?x?e2??2cosxd(e)?e2?ecosx?2??2exsinxdx
0?0?e?1??2exsinxdx,
?故有 例9 求
?201esinxdx?(e2?1).
2x???0exdx.
解 先用换元法．令t?x,则x?t2，dx?2tdt
?x0?e再用分部积分法计算：
dx?2?tetdt.
0??因此 例10 设
解
?0tetdt??td(et)?tet0?0?10??etdt?e?et0?10?1．
??0exdx?2?tetdt?2?1?2．
bbaaf(x)在[a,b]上可导，且f(a)?f(b)?0，?f2(x)dx?1,试求?xf(x)f?(x)dx．
?baxf(x)f?(x)dx??xf(x)df(x)?ab1b2xdf(x) ?a211?0??1??．
22121b2b?xf(x)a??f(x)dx22a课后作业及小结：
1、学习了定积分的分部积分法与换元法的概念 2、熟练运用积分方法 作业：P193.1,3
第七节：定积分的几何应用与物理应用
1、平面图形的面积——直角坐标系下平面图形的面积 （1）当
f(x)?0时，由曲线y?f(x)，直线x?a,x?b及x轴所围成的曲边梯形。
b 面积为： （2）若
A??f(x)dx
abbf(x)?g(x)，由曲线y1?f(x),y2?g(x)，直线x?a,x?b所围成的图形
A??[f(x)?g(x)]dx??(y1?y2)dx
aadd 面积为： （3）若?(y)??(y)，由曲线x1??(y),x2??(y)，直线y?c,y?d所围成的图形 A??[?(y)??(y)]dy??(x1?x2)dy
cc 面积为：
求平面图形面积的步骤：
（1）根据问题的要求，作出简单的图形，选取合适的变量（x或
bby）作为积分变量，并确定其变化范围[a,b]（或[c,d]）。
（2）写出积分表达式： 例1 求曲线
A??(y1?y2)dx??[f(x)?g(x)]dx，然后进行计算。
aay?x2与y2?x所围成图形的面积。
解：解方程组
?y?x2 得两条曲线的交点为 (0,0)和(1,1)，选取x为积分变量，其变化区间为[0,1]，则面积为 ?2?y?x?321?12A??(y1?y2)dx??(x?x)dx??x3?x3??
3?0300?2111若取
y为积分变量，其变化区间也是[0,1]，且有
11A??(x1?x2)dy??(y?y2)dy?001
3例2 求抛物线
y2?2x与直线y?x?4所围成图形的面积。
?y2?2x 解： 解方程组?得交点(2,?2)和(8,4)，取y为积分变量，其变化区间为[?2,4]，则
?y?x?4?y2y2y3?A??(x1?x2)dy??(y?4?)dy???4y???18
26??2?2?2?2 若取x为积分变量，其变化区间为[0,8]，在[0,2]上有
22444A1??(y1?y2)dx??[2x?(?2x)]dx
00在[2,8]上有
88A2??(y1?y2)dx??[2x?(x?4)]dx
22A?A1?A2?18.由此可见，积分变量取得好，计算则简单，反之较麻烦。
3例3 求曲线y?x与直线y?x所围成图形的面积。
所求面积为： 解：解方程
0?y?x3，得交点(?1,1)，(0,0)，(1,1)，取x为积分变量 ??y?x1014224????xxxx111 33则 A?(x?x)dx?(x?x)dx?????????????4224442???1??0?102、空间立体的体积
（1） 旋转体的体积
旋转体——平面图形绕平面上一条直线旋转一周而成的立体（如：球、圆柱、圆锥等），直线为旋转轴。 旋转轴为x轴的旋转体体积：若平面图形由曲线体积为：
y?f(x)，直线x?a,x?b(a?b)及x轴围成。则所求旋转体
V???ydx???[f(x)]2dx
2aabby?x2与直线x?1及x轴所围成图形绕x轴旋转一周后的旋转体体积。 解： 抛物线与x轴和直线x?1的交点分别为(0,0)和(1,1)
例4 求由抛物线
112?V???ydx???(x2)2dx?00?5x5|10??
5 类似地，由曲线x??(y)，直线y?c,y?d及y轴所围成图形绕y轴旋转一周后的旋转体体积为
d2dV???xdy???[?(y)]2dy
cc例5 求由抛物线
1y?x2与直线y?1及y轴所围成图形绕y轴旋转一周后的立体体积。
1 解：V??xdy??ydy??y2|1??
0?02?0223、曲线弧长（不讲） 课后作业及小结：
1、掌握平面图形的面积公式与空间立体的体积公式 作业：P209.1,4
第八节：反常积分
1、无限区间上的反常积分 定义1 设函数
f(x)在无穷区间[a,??)连续，取b?a的正数，如果极限
b???alim?f(x)dx
??ab存在，则称此极限为
f(x)在区间[a,??)上的无穷积分，记为?f(x)dx，即
ba 这时，也称无穷积分
???af(x)dx?lim?f(x)dx,
b???b???af(x)dx存在或收敛；若极限lim?f(x)dx不存在，则称上无穷积分?b???a??af(x)dx不存在或
发散.类似地，设函数
f(x)在区间(??,b]上连续，那么我们可以定义
?如果上式中的极限存在，则称无穷积分定义2 设函数
b??f(x)dx?lim?f(x)dx.
u???ub?b??f(x)dx存在或收敛，如果不存在，则称无穷积分?b??f(x)dx不存在或发散.
f(x)在无穷区间(??,??)连续，其无穷积分定义为
?其中
????f(x)dx??c??f(x)dx????????cf(x)dx
c??c为任意常数，当上式右端两个积分都收敛时，称无穷积分?f(x)dx是收敛的；而若?f(x)dx和
???cf(x)dx至少有一个发散，则称无穷积分?????f(x)dx是发散的.
f(x)?0，且
注: 与定积分的情况类似，我们也可以考虑无穷积分的几何意义：若对一切x?[a,??]，有敛，则
???af(x)dx收
???af(x)dx表示的就是由曲线y?f(x)，直线x?a和x轴围成
的无穷区域的面积，例1 求解
???af(x)dx发散，则该无穷区域没有有限面积．
???0xe?xdx.
2???0xe?x2dx?lim?xeb???0b?x2b221b?x2?2111dx?lim??edx(?)?lim(e?x)??lim(e?b?1)?.
0b???202b???2b???21???1?x2dx. ??0??1110????dx?dx?dx解 ? ?arctanx?arctanx???????1?x2?01?x2??1?x2??022??1dx，当p取何值时收敛，取何值时发散. 例3 讨论广义积分?p1x??例2 求
.
??1??1解 当p?1时，有dx?dx?ln|x|???; ?1xp?1x1??111?p??11?p 当p?1时，有dx?x?lim(b?1). ?1xp1?pb???11?p?????,p?111?1?p从而 . dx?lim(b?1))??1?1xp1?pb???,p?1?p?1???1??1dxdx发散. p?1p?1综上所述，当时，广义积分?收敛，当时，广义积分?pp11xx??注 有时为了书写简便，也可以省去极限符号，广义积分的计算可以简化为
???af(x)dx?F(x)
?b?????F(??)?F(a), abf(x)dx?F(x)?F(b)?F(??),
???????其中F(??)例4 求解
x???f(x)dx?F(??)?F(??),
x????limF(x)，F(??)?limF(x).
???0e?axdx (a?0)
???0e?axdx??
1???ax1?axed(ax)??e?0aa111??(limax?1)?
ax???ea??01??(lime?ax?e0)
ax???2、无界函数的反常积分（瑕积分） 定义4 如果
f(x)在某一点x0满足
limf(x)?? 或 limfx(?)?,
??x?x0x?x0则称x?x0为f(x)的瑕点.
定义5 设函数
f(x)在区间[a,b)上连续，b为f(x)在区间[a,b)上的瑕点，设??0，若极限lim????0bbaab??af(x)dx存
在，则称此极限值为函数
f(x)在区间[a,b)上的瑕积分，记为?f(x)dx，并称瑕积分?f(x)dx收敛，即
?若极限
??0baf(x)dx?lim????0bab??af(x)dx.
lim??b??af(x)dx不存在，就称瑕积分?f(x)dx发散.类似地，如果x?a为f(x)的瑕点，可定义函数f(x)在区间(a,b]上的瑕积分
?当极限存在，称瑕积分
如果xbaf(x)dx?lim????0ba??f(x)dx.
ba?baf(x)dx收敛，当极限不存在，称瑕积分?f(x)dx发散.
cbc??1?c为f(x)在(a,b)内的唯一瑕点，则函数f(x)在区间[a,b]上的瑕积分定义为
当瑕积分
?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx?lim??ac?1?0baf(x)dx?lim???2?0bc??2f(x)dx.
ba?caf(x)dx与?f(x)dx都收敛时，则称瑕积分?f(x)dx收敛，否则，称瑕积分?f(x)dx发散.
cab例5 计算广义积分解 因为
x?0??lnxdx.
01limlnx???，所以x?0是lnx的无穷间断点，
?110lnxdx?limlnxdx?lim(xlnx?x)?????0???011??lim?(?1??ln???)??1.
??0例6 讨论广义积分解
?101dx(p?0)，当p取何值时收敛，取何值时发散. xp1?0xpdx(p?0)是以0为瑕点的瑕积分，设??0，则
?ln?,p?1?11?, dx??1?p?1??xp?1?p?1?p,p?1?11dx?lim(?ln?)???; 当p?1时，有limp??0???x??0?11?1?1?p?1dx?lim??当0?p?1时，有lim?; ????0??xp??0?1?p1?p?1?p?1?11?1?p?dx?lim?当p?1时，有lim??????.
??0??xp??0?1?p1?p??111dx(p?0)p?1p…1故广义积分?当时发散，当时收敛于. 0xp1?p11dx的敛散性. 例7 讨论广义积分??1x21解 由于x?0是函数2的无穷间断点,所以
x110111dx?dx???1x2??1x2?0x2dx,
而
?10111111dxlimdx?lim(?)?lim(?1)??? . 22???????0??0??0x??xx即瑕积分
?101dx发散，故x21??1x2dx1发散.
注 与无穷积分不同，在求瑕积分时，应当先找出被积函数在积分区间上的瑕点，确定瑕积分的“身份”，再用瑕积分的定义等相关知识来解题. 课后作业及小结：
1、掌握并熟练运用反常积分的计算方法 作业：P216.1,2