?
推论1 若函数
baf(x)dx…0.
，则
此性质也可由定积分的几何意义直接看出来.它有如下几个重要的推论：
f(x),g(x)在区间[a,b]上可积，且f(x)…g(x),?推论2
baf(x)dx…?g(x)dx.
ab?baf(x)dx??f(x)dx (a?b).
ab证明 因为
?f(x)?f(x)?f(x)， 则
??f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx，
aaabbb即
?baf(x)dx??f(x)dx.
abb性质6 设M与m分别为
f?x?在?a,b?上的最大值与最小值,那么
am(b?a)??f(x)dx?M(b?a).
证明 因为m?f?x??M,根据推论1得
又
?bbamdx??f(x)dx??Mdx，
aabbb?故有
amdx?m(b?a) ，?Mdx?M(b?a)
am(b?a)剟?f(x)dxabM(b?a).
这个性质说明，由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围． 例1 比较下列积分值的大小.
（1）
解 （1）x??10edx与?edx （2）?02xdx与?02?sinx?dx
xx221??20?0,1?时，x?x2，故ex?ex2，因此，
?10exdx??10exdx.
?222???22（2）当x??0,?时，x?sinx?0，故x??sinx?,因此，?2xdx??2?sinx?dx.
00?2?性质7（积分中值定理） 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则至少存在一点?，使得
??baf(x)dx?f(?)(b?a), ??[a,b].
1123例2 判断定积分
?xdx与?xdx的大小。
0011223 解：?在[0,1]上,x?x?2，? 由性质5有
3≥xdx。 xdx??00例3 估计定积分
?(1?sinx)dx 的值。
0???????(1?sinx)dx?? 解：? 在0,上，1?1?sinx?2， ???2?2?012
例4 估计定积分
?(x?arctanx)dx 的值。
0 解： 设 所以
f(x)?x?arctanx，
1x2f?(x)?1???0
1?x21?x2f(x)是[0,1]上的单增函数，则有f(0)?f(x)?f(1)， 即 0?xarctanx?1?1?4，
所以0课后作业及小结：
1、学习了定积分基本概念 2、熟练运用定积分的性质 作业：P177.4,5,6,7,8
??(x?arctanx)dx?1?0?4
第五节：微积分基本定理
1、变速直线运动的路程（不讲自学） 2、积分上限函数
设则
f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积，又设x是[a,b]上任意一点，那么f(x)在[a,x]上也连续，
xxf(x)在[a,x]上可积，即f(x)dx 存在，由于定积分的值与积分变量用什么字母无关，因此上述积分可记为f(t)dt
??aaxx若x在[a,b]上变化，
?f(t)dt也随之变化，则构成一个新函数，记为?(x)??f(t)dt(a?x?b)
aax此函数称为积分上限函数（变上限积分函数）。 定理1 若
f(x)在[a,b]上连续，则?(x)??a??x?f(t)dt在[a,b]上可导，且??(x)???f(t)dt??f(x)(a?x?b)
???a???b(x)??? （由定理和复合函数求导法则可得） 推论1???f(t)dt??f[b(x)]?b(x)?a???b(x)?推论2 ??f(t)dt??f[b(x)]?b?(x)?f[a(x)]?a?(x)
???a(x)?x定理2 若
f(x)在[a,b]上连续，则 ?(x)??f(t)dt就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。
a1例 已知
?xf(t)dt?cos3x?x2，求
f(x)
?x??2 解： ?f(t)dt??cos3x?x?f(x)??f(x)dx??3sin3x?2x
????1?1?xx例 求
lim0x?0?sin3tdtx2
??x???sin3tdt?0??00???limsin3x?3
解： 原式?limx?0x?02x2(x2)?0例 求
limx?1lnx?tdt2(x?1)
1101lnx01x??1 x0解：原式?lim??lim??lim??limx?1(x?1)2x?12(x?1)2x?12x?122x?1x2?x??tdt00lnxlnx?3、微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）
b定理3 若F(x)是连续函数
f(x)在[a,b]上的一个原函数，则?f(x)dx?F(b)?F(a)
ax 证： 设F(x)是
f(x)的一个原函数，又?(x)??f(t)dt也是f(x)的一个原函数，则
aF(x)??(x)?c(a?x?b) （＊）
令x?a，有F(a)??(a)?c，则F(a)?c(?(a)?0)代入（＊）得
x?(x)??f(t)dt?F(x)?F(a)
ab令x?b，则
2?f(x)dx?F(b)?F(a)证毕。定理中的公式称为牛顿—莱布尼兹公式，也称为微积分基本公式。
a 例 求
1dx 2?x1211?1? 解： 原式?? ???1???22?x?111dx 例 求 ?211?x2 解： 原式?4arcsinx|11?2?2??6??3
例 求
?|x?2|dx
0 解： ?4?x?2,x?2 |x?2|???2?x,x?224??x2?x2???|x?2|dx??(2?x)dx??(x?2)dx??2x?????2x??4
2?0?2??2002?24例 求
?01?sin2xdx
?cosx,0?x?222 1?sinx?cosx?|cosx|????cosx,??x??2??22? 解： ??????1?sinxdx??|cosx|dx??cosxdx???cosxdx?sinx02?sinx|???2
000?22课后作业及小结：
1、学习了微积分基本定理
2、综合运用微积分基本定理进行计算 作业：P184.2,3,8,9
第六节：定积分的换元法和分部法
由上节知道，计算定积分
?baf(x)dx的简便方法便是把它转化为求f(x)的原函数的增量，在第四章中，我们介绍了用
换元法可以求出一些函数的原函数,同理，我们也可以用换元法来计算定积分．所以我们有下面的定理． 1、定积分的换元法 定理1 假设
f(x)在区间[a,b]上连续，令x??(t)满足以下条件：
（1）?(t)在区间[?,?]上有连续的导数??(t)；
（2）当t从?变到?时，?(t)从?(?)?a单调地变到?(?)?b，则有
?上式称为定积分的换元公式． 证明 设F(x)是
baf(x)dx??f[?(t)]??(t)dt．
??f(x)在[a,b]上的一个原函数，则
?再设
baf(x)dx?F(b)?F(a)，
?(t)?F[?(t)], 对?(t)求导， 得
dFdx??(t)???f(x)???(t)?f[?(t)]???(t),
dxdt??(t)的一个原函数，因此有 即?(t)是f[?(t)]??又
所以
?f[?(t)]???(t)dt??(?)??(?).
?(t)?F[?(t)]，?(?)?a,?(?)?b，则
?(?)??(?)?F[?(?)]?F[?(?)]?F(b)?F(a)，
?baf(x)dx??f[?(t)]???(t)dt.
?b这就证明了换元公式． 注意：
??(t)把原来变量x代换成新变量t时，原积分限也要换成相应于新变量t的积分限；
（2）求出f[?(t)]???(t)的一个原函数?(t)后，不必像计算不定积分那样把?(t)变换成原来变量x的函数，而只要把新变量t的上、下限分别代入?(t)中，然后相减即可．
81dx. 例1 求?301?x323解 令x?t，则x?t,dx?3tdt
（1）用x当x?0时，t?0；当x?8时，t?2.于是
282t2?11??t2?2 ?3dx?3dt?3t?1?dt?t?ln(t?1)?3ln3. ???01?3x?01?t?0???1?t??2?0
例2 求
?a0a2?x2dx(a?0).
?asint，dx?acostdt，当x?0时，t?0；x?a时t?解 令x?，于是 2
?a?0a?xdx??2a2cos2tdt
022??a2?201?cos2tdt 21??a2. 4222从几何图形上看，此积分值为由圆x?y?a 与x轴和y轴在第一象限所围成的平面图形的面积
例3 求
??20cos5x?sinxdx．
?时，t?0，于是 2?601??11t5552cos?xsinxdx??tdt?tdt????． ?0?1?0?6?06注 如果不明确写出新的变量t，则定积分的上、下限就不需要变更．如
???6解 设t?cosx,则dt??sinxdx，当x?0时，t?1;当x??20?cosx?1cos5?xsinxdx???2cos5xd(cosx)???． ?2?0?6?06例4 求
?ln20ex(1?ex)2dx.
解 令t例5 设（1）当（2）当
1?ex，则x?lnt, dx?dt，当x?0时，t?1；x?ln2时，t?2，于是
tln2222119xx2213222e(1?e)dx?t(1?t)?dt. ?(1?t)??(1?t)dt?(1?t)d(1?t)?0?1?1?1t133f(x)在对称区间??a,a?上连续，求证：
f(x)为奇函数时，?f(x)为偶函数时，?a?aa?af(x)dx?0；
f(x)dx?2?f(x)dx.
0a注 此例的结果也称为奇偶函数在对称区间积分的性质(简记为偶倍奇零)，利用此性质可简化对称区间上奇函数及偶函数的定积分的计算.
2、定积分的分部积分法
利用不定积分的分部积分法及牛顿—莱布尼茨公式，即可得出定积分的分部积分公式． 定理1 设u?u(x)，v?v(x)在区间?a,b?上具有连续导数u?(x),v?(x)，则有
?上式称为定积分的分部积分法． 证明 由求导公式
对上式两端从a到b作积分，得
移项得
baudv?uvba??vdu
ab(uv)??u?v?uv?，
?ba(uv)?dx??bbau?vd?x?bba?v， xdub?ba?uv?dx??(uv)?dx??u?vdx?uvba??vudx ,
aaa即
利用分部积分法计算定积分，由于没有引入新变量，所以在计算过程中，定积分的积分限不变，而且选择u，v的方法
也与不定积分的分部积分法相同.需要注意的是，定积分的分部积分法可将原函数已经求出的部分u,v，先用上、下限代入，以便简化后面的计算. 例6 求解
?baudv?uvba??vdu.
ab?51lnxdx.
u?lnx，dv?dx，则du?
1dx，v?x，故 x555155lnxdx?xlnx?x?dx?xlnx?x?5ln5?4. ?1?1111x例7 求
1?10xexdx.
x1xx解
11xx1?0xedx??0xd(e)?xe0??0edx?e?e0?1.