所以EX?E(40?25Y)?40?25EY?490.
（ⅱ）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于EX?400，故应该对余下的产品作检验. 21．解：
1ax2?ax?1（1）f(x)的定义域为(0,??)，f?(x)??2?1???.
xxx2（ⅰ）若a≤2，则f?(x)≤0，当且仅当a?2，x?1时f?(x)?0，所以f(x)在(0,??)单调递减.
a?a2?4a?a2?4（ⅱ）若a?2，令f?(x)?0得，x?或x?.
22a?a2?4a?a2?4)U(,??)时，f?(x)?0； 当x?(0,22a?a2?4a?a2?4a?a2?4a?a2?4,)时，f?(x)?0. 所以f(x)在(0,)，(,??)单调递减，当x?(2222a?a2?4a?a2?4,)单调递增. 在(22
（2）由（1）知，f(x)存在两个极值点当且仅当a?2.
由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2?ax?1?0，所以x1x2?1，不妨设x1?x2，则x2?1. 由于 f(x1)?f(x2)lnx1?lnx2lnx1?lnx2?2lnx21， ???1?a??2?a??2?a1x1?x2x1x2x1?x2x1?x2?x2x2所以
f(x1)?f(x2)1?a?2等价于?x2?2lnx2?0.
x1?x2x2
设函数g(x)?g(x)?0.
1?x?2lnx，由（1）知，g(x)在(0,??)单调递减，又g(1)?0，从而当x?(1,??)时，x所以
f(x1)?f(x2)1?x2?2lnx2?0，即?a?2. x2x1?x2
22．解：
（1）由x??cos?，y??sin?得C2的直角坐标方程为
(x?1)2?y2?4. （2）由（1）知C2是圆心为A(?1,0)，半径为2的圆.
由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线. 记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2. 由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.
当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以|?k?2|4?2，故k??或k?0. 经检
3k2?1 11
4验，当k?0时，l1与C2没有公共点；当k??时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点.
3当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以验，当k?0时，l1与C2没有公共点；当k?4综上，所求C1的方程为y??|x|?2.
3|k?2|k2?1?2，故k?0或k?4. 经检34时，l2与C2没有公共点. 3
23．解：
??2,?（1）当a?1时，f(x)?|x?1|?|x?1|，即f(x)??2x,?2,?x≤?1,?1?x?1, x≥1.1故不等式f(x)?1的解集为{x|x?}.
2
（2）当x?(0,1)时|x?1|?|ax?1|?x成立等价于当x?(0,1)时|ax?1|?1成立. 若a≤0，则当x?(0,1)时|ax?1|≥1； 若a?0，|ax?1|?1的解集为0?x?综上，a的取值范围为(0,2].
22，所以≥1，故0?a≤2. aa
12
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（全国2卷）
13
绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（全国2卷）
本试卷共23题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。 1?2i1．?
1?2i43433434A．??i B．??i C．??i D．??i
555555552．已知集合A?{(x,y)|x2?y2?3,x?Z,y?Z}，则A中元素的个数为
A．9 B．8 C．5 D．4
ex?e?x3．函数f(x)?的图象大致为
x2
4．已知向量a，b满足|a|?1，a?b??1，则a?(2a?b)? A．4
22B．3 C．2 D．0
5．双曲线
xy??1(a?0,b?0)的离心率为3，则其渐近线方程为 22abB．y??3x
C．y??2x 2A．y??2x 6．在△ABC中，cosA．42 D．y??3x 2C5?，BC?1，AC?5，则AB? 25开始N?0,T?0D．25 i?1是1ii?100否B．30 C．29 111117．为计算S?1??????，设计了右侧的程
23499100在空白框中应填入
序框图，则
N?N?
14
S?N?T输出S结束T?T?1i?1A．i?i?1 B．i?i?2 C．i?i?3 D．i?i?4
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30?7?23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
1111 B． C． D． 121415189．在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?1，AA1?3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为
A．
551A． B． C．
65510．若f(x)?cosx?sinx在[?a,a]是减函数，则a的最大值是
D．2 2ππ3π B． C． D．π 42411．已知f(x)是定义域为(??,??)的奇函数，满足f(1?x)?f(1?x)．若f(1)?2，
A．
则f(1)?f(2)?f(3)??f(50)? A．?50 B．0 C．2 D．50
3x2y212．已知F1，F2是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为6ab的直线上，△PF1F2为等腰三角形，?F1F2P?120?，则C的离心率为 211 B． C． 323二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线y?2ln(x?1)在点(0,0)处的切线方程为__________．
A．D．
1 4?x?2y?5≥0,?14．若x,y满足约束条件?x?2y?3≥0,则z?x?y的最大值为__________．
?x?5≤0,?15．已知sinα?cosβ?1，cosα?sinβ?0，则sin(α?β)?__________． 16．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为
面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考
生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。
15
7，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的8