17．（12分）
记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1??7，S3??15． （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值． 18．（12分）
下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,年的数据（时间变量t的值依次为1,2,???30.4?13.5t；,17）建立模型①：y根据2010年至2016
??99?17.5t． ,7）建立模型②：y（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 19．（12分）
设抛物线C：y2?4x的焦点为F，过F且斜率为k(k?0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|?8． （1）求l的方程；
（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程． 20．（12分）
如图，在三棱锥P?ABC中，AB?BC?22，
PA?PB?PC?AC?4，O为AC的中点．
P（1）证明：PO?平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且二面角M?PA?C为30?，面PAM所成角的正弦值． 21．（12分）
已知函数f(x)?e?ax．
（1）若a?1，证明：当x≥0时，f(x)≥1；
x2求PC与平
ABOMC 16
（2）若f(x)在(0,??)只有一个零点，求a．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
?x?2cosθ,?x?1?tcosα,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为?（θ为参数），直线l的参数方程为??y?4sinθ,?y?2?tsinα,（t为参数）．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率． 23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
设函数f(x)?5?|x?a|?|x?2|．
（1）当a?1时，求不等式f(x)≥0的解集； （2）若f(x)≤1，求a的取值范围．
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绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
一、选择题 1．D 7．B
2．A 8．C
3．B 9．C
4．B 10．A
5．A 11．C
6．A 12．D
二、填空题 13．y?2x 三、解答题 17．解：
（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1?3d??15． 由a1??7得d=2．
所以{an}的通项公式为an?2n?9． （2）由（1）得Sn?n2?8n?(n?4)2?16． 所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为?16． 18．解：
（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
14．9
15．?1 216．402π
???30.4?13.5?19?226.1(亿元)． y利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
??99?17.5?9?256.5(亿元)． y（2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：
（ⅰ）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y??30.4?13.5t上下．这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋
18
势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年
??99?17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因的数据建立的线性模型y此利用模型②得到的预测值更可靠．
（ⅱ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226．1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分． 19．解：
（1）由题意得F(1,0)，l的方程为y?k(x?1)(k?0)． 设A(x1,y1),B(x2,y2)，
?y?k(x?1),由?2得k2x2?(2k2?4)x?k2?0． ?y?4x2k2?4??16k?16?0，故x1?x2?． 2k24k2?4所以|AB|?|AF|?|BF|?(x1?1)?(x2?1)?．
k24k2?4?8，解得k??1（舍去）由题设知，k?1． 2k因此l的方程为y?x?1．
（2）由（1）得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y?2??(x?3)，即y??x?5． 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0)，则
?y0??x0?5,?x0?3,?x0?11,?2解得?或? ?(y0?x0?1)2y?2?16.?0?y0??6.?(x0?1)??2因此所求圆的方程为(x?3)?(y?2)?16或(x?11)?(y?6)?144． 20．解：
（1）因为AP?CP?AC?4，O为AC的中点，所以OP?AC，且OP?23．
2222 19
连结OB．因为AB?BC?且OB?AC，OB?2AC，所以△ABC为等腰直角三角形， 21AC?2． 2由OP2?OB2?PB2知PO?OB． 由OP?OB,OP?AC知PO?平面ABC．
uuur（2）如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O?xyz．
uuur由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,?2,0),C(0,2,0),P(0,0,23),AP?(0,2,23),取平面PAC的法uuur向量OB?(2,0,0)．
uuur设M(a,2?a,0)(0?a?2)，则AM?(a,4?a,0)．
设平面PAM的法向量为n?(x,y,z)．
uuuruuur??2y?23z?0由AP?n?0,AM?n?0得?，可取
??ax?(4?a)y?0n?(3(a?4),3a,?a)，
uuur所以cosOB,n?23(a?4)23(a?4)?3a?a222．由已知得uuur3． |cosOB,n|?2所以23|a?4|23(a?4)2?3a2?a2=43．解得a??4（舍去），a?．
32uuuruuur834343所以n?(?． ,,?)．又PC?(0,2,?23)，所以cosPC,n?3334所以PC与平面PAM所成角的正弦值为
3． 4 20