21．解：
（1）当a?1时，f(x)?1等价于(x2?1)e?x?1?0．
设函数g(x)?(x2?1)e?x?1，则g'(x)??(x2?2x?1)e?x??(x?1)2e?x． 当x?1时，g'(x)?0，所以g(x)在(0,??)单调递减． 而g(0)?0，故当x?0时，g(x)?0，即f(x)?1． （2）设函数h(x)?1?ax2e?x．
f(x)在(0,??)只有一个零点当且仅当h(x)在(0,??)只有一个零点．
（i）当a?0时，h(x)?0，h(x)没有零点； （ii）当a?0时，h'(x)?ax(x?2)e?x．
当x?(0,2)时，h'(x)?0；当x?(2,??)时，h'(x)?0． 所以h(x)在(0,2)单调递减，在(2,??)单调递增． 故h(2)?1?4ah(x)在[0,??)的最小值． 2是e 21
e2①若h(2)?0，即a?，h(x)在(0,??)没有零点；
4e2②若h(2)?0，即a?，h(x)在(0,??)只有一个零点；
4e2③若h(2)?0，即a?，由于h(0)?1，所以h(x)在(0,2)有一个零点，
433316a16a16a1?1??0． 由（1）知，当x?0时，ex?x2，所以h(4a)?1?4a?1?2a2?1?4e(e)(2a)a故h(x)在(2,4a)有一个零点，因此h(x)在(0,??)有两个零点．
e2综上，f(x)在(0,??)只有一个零点时，a?．
422．．解：
x2y2（1）曲线C的直角坐标方程为??1．
416当cos??0时，l的直角坐标方程为y?tan??x?2?tan?， 当cos??0时，l的直角坐标方程为x?1．
（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程
(1?3cos2?)t2?4(2cos??sin?)t?8?0．①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1?t2?0． 又由①得t1?t2??23．解：
4(2cos??sin?)，故2cos??sin??0，于是直线l的斜率k?tan???2．
1?3cos2??2x?4,x??1,?（1）当a?1时，f(x)??2,?1?x?2,
??2x?6,x?2.?可得f(x)?0的解集为{x|?2?x?3}． （2）f(x)?1等价于|x?a|?|x?2|?4．
而|x?a|?|x?2|?|a?2|，且当x?2时等号成立．故f(x)?1等价于|a?2|?4．
22
由|a?2|?4可得a??6或a?2，所以a的取值范围是(??,?6][2,??)．
21（12分）
已知函数f(x)?ex?ax2．
（1）若a?1，证明：当x?0时，f(x)?1； （2）若f(x)在(0,??)只有一个零点，求a． 解：
（1）f?(x)?ex?2x，f??(x)?ex?2．
当x?ln2时，f??(x)?0，当x?ln2时，f??(x)?0，所以f?(x)在(??,ln2)单调递减，在(ln2,??)单调递增，故f?(x)?f?(ln2)?2?2ln2?0，f(x)在(??,??)单调递增．
因为x?0，所以f(x)?f(0)?1．
ex（2）当x?0时，设g(x)?2?a，则f(x)?x2g(x)，f(x)在(0,??)只有一个零点等价于g(x)在
x(0,??)只有一个零点．
ex(x?2)g?(x)?，当0?x?2时，g?(x)?0，当x?2时，g?(x)?0，所以g(x)在(0,2)单调递减，
x3e2?a． 在(2,??)单调递增，故g(x)?g(2)?4e2若a?，则g(x)?0，g(x)在(0,??)没有零点．
4e2若a?，则g(x)?0，g(x)在(0,??)有唯一零点x?2．
4ex1e2x2若a?，因为g(2)?0，由（1）知当x?0时，e?x?1，g(x)?2?a?2?1?a，故存在
4xxx1?(0,1)?(0,2)，使g(x1)?0． a?1e4ae4ag(4a)??a??a
16a216a2ex?x2，
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2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（全国3卷）
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2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（全国3卷）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1，2?，则A1．已知集合A??x|x?1≥0?，B??0，A．?0? 2．?1?i??2?i?? A．?3?i
B．?3?i B．?1?
B?
2? C．?1，1，2? D．?0，C．3?i D．3?i
3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是
14．若sin??，则cos2??
387A． B．
992??5．?x2??的展开式中x4的系数为
x??57C．?
98D．?
9A．10 B．20 C．40 D．80
26．直线x?y?2?0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆?x?2??y2?2上，则?ABP面积的取值范围是
6? A．?2，8? B．?4，?C．??2，32? ?D．??22，32?
7．函数y??x4?x2?2的图像大致为
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