第三章 刚体力学
§3.1 刚体运动的分析 §3.2 角速度矢量 §3.3 刚体运动微分方程 §3.4 刚体平衡方程 §3.5 转动惯量 §3.6 刚体的平动与定轴转动 §3.7刚体的平面平行运动
§3.1 刚体运动的分析 一、描述刚体位置的独立变量
1.刚体是特殊质点组drij=0,注意:它是一种理想模型,形变大小可忽略时可视为刚体。 2.描述刚体位置的独立变数
描述一个质点需(x,y,z), 对刚体是否用3n个变量？否,由于任意质点之间的距离不变,如确定不在同一直线上的三点,即可确定刚体的位置,需9个变量，由于两点间的距离保持不变，所以共需9-3=6个变量即可。
刚体的任意运动=质心的平动+绕质心的转动，描述质心可用(x,y,z), 描述转轴可由α,β,γ。
二、刚体的运动分类
1.平动：刚体在运动过程中，刚体上任意直线始终平行.
任意一点均可代表刚体的运动，通常选质心为代表.需要三个独立变量,可以看成质点力学问题.(注意:平动未必是直线运动)
2.定轴转动: 刚体上有两点不动,刚体绕过这两点的直线转动,该直线为转轴. 需要一个独立变量φ
3.平面平行运动: 刚体上各点均平行于某一固定平面运动。可以用平行于固定平面的截面代表刚体。需要三个独立变量。
4.定点运动: 刚体中一点不动,刚体绕过固定点的瞬转转动。需三个独立的欧拉角。 5.一般运动: 平动+转动 §3.2 角速度矢量
定轴转动时角位移用有向线段表示,右手法确定其方向.有向线段不一定是矢量,必须满足平行四边形法则,对定点转动时,不能直接推广,因不存在固定轴.
刚体在dt时间内转过的角位移为dn ，则角速度定义为
ω?lim?ndn??t?0?tdt
角速度反映刚体转动的快慢。
?dr?dn?r,?v?
线速度与角速度的关系：
dr?ω?rdt
§3.3 刚体运动微分方程 一、 基础知识
1.力系：作用于刚体上里的集合。
平衡系：使静止刚体不产生任何运动的力系。 等效系：二力系对刚体产生的运动效果相同。
力系的简化：用一简单力系等效地代替一复杂力系称为力系的简化或合成。 二、公理：
1）二力平衡原理：自由刚体在等大、反向、共线二力作用下必呈平衡。 2）加减平衡力学原理：任意力系加减平衡体系,不改变原力系的运动效应。 3）力的可传性原理：力沿作用线滑移，并不改变其作用效果，F与F`等效。 三、力偶力偶矩
1. 力偶：等大、反向、不共线的两个力组成的利系。力偶所在平面叫力偶面。 2. 力偶矩: 力F 对任意一点O的位置矢量为r ,则力偶矩为 M?r?F，其大小为 M=Fd ,d为力偶臂。上式表明:
1) 力偶矩与矩心无关,故M可画在过力偶面任意点且与力偶面垂直的直线上,它是一自由矢量;
2) M的唯一效果是引起转动效应;
3) 力偶不能与一力等效.(因为若等效,则可取其作用线上任意一点为矩心,则有M=0, 发生矛盾). 3. 等效力偶:
(1)力偶可在力偶面内任意般动, M不变时等效； (2)可使M不变,改变F,d, 与原力偶等效。 四、力的平移定理
??若将作用于刚体上的力F平移至同一刚体上不在力F的作用线上的其它点O，则必须??相应增加一个附加力偶，其力偶矩M等于原力F对平移点O的矩，才能保证原力对刚体的
??O作用效果。这一结论称为力的平移定理。显然M垂直于由点与原力F的作用线所作出的
平面。
?上述定理的逆定理也成立，即当作用于刚体上某点O的某个力F1与作用于同一刚体上???的某个力偶的力偶矩M垂直时，则该力和力偶可以合成为一个力F，其力矢与原长F1相同，
??平移的垂直方向为F1?M方向，平移和垂直距离为M / F1 。
力的平移定理表明，一个力可以等效于一个力和一个力偶。而其逆定理则表明，可以将同一平面内的一个力和一个力偶等效于一个力。力的平移定理是任意力系向某点简化的理论基础。
五、空间任意力系的简化
空间任意力系向任一点O（称为简化中心）简化后，一般可得一个力和一个力偶。其
?中这个力的作用线过简化中心，其力矢与该力系主矢R相同，这个力偶的力偶矩与该力系
?对简化中心的主矩MO相同。
??M上表说明，力系的主矢R和主矩O完全确定了力系的最简简化结果，由此也就不难
理解力系的主矢和主矩为什么是力系两个极其重要的特征量了。 六、平行力系
平行力系中心若平行力系存在合力，当平行力系的各力保持其大小和作用点不变，而将它们的作用线沿相同方向转过任意相同角度，所得到的所有平行力系的合力作用线始终通过的那个唯一确定的点C，称为平行力系中心。取力的作用线的某一方向为正向，其单位矢
???F?Fe,2,...,n)，若它们的作用点相对于空间某i(i?1量为e，则平行力系中各力可表示为i?rO一确定点的矢径为(i?1,2,...,n)，则平行力系中心相对于点O的矢径公式为
?rC??Fr?Fi?
ii???F例 沿图示长方体三个互不相交且互不平行的棱边分别作用着力F1、F2和3，它们的大小
均等于F，当它们能简化为一合力时，长方体的长、宽、高的尺寸a、b、c之间的关系如何？ 解 1) 建立图示直角坐标系oxyz
??????F?Fi,F2?Fj,F3?Fk 2) 1于是力系的主矢为
3?????R??Fi?Fi?Fj?Fki?1
3) 取点O为简化中心，各力对点O的矩为
?????????mO(F1)?0, mO(F2)??Fci , mO(F3)?Fbi?Faj
于是力系对点O的主矩为
3?????MO??mO(Fi)?(Fb?Fc)i?Faji?1
????R?0,MO?0，因此，该力系要简化为一个合力，则必须R?MO?0，即
4) 显然
F(Fb?Fc)?F(?Fa)?0 于是有 a?b?c 七、刚体运动微分方程
取刚体的质心为简化中心，把质点组的质心运动定理和对质心的动量矩定理应用到刚体
上，就是刚体运动微分方程，即
mac?F,dJ??M?dt，在直角坐标系中为
'dJy
macx?Fxmacy?Fy'dJx'?Mxmacy?Fy dtdt?M'ydJz'?Mz'dt
对保守力系，机械能守恒定律成立，即有 T + V = E §3.4 刚体平衡方程
一、刚体的平衡
刚体相对于惯性参考系处于静止或匀速直线平动状态，称为物体的平衡。物体在平衡力系的作用下不一定处于平衡状态，这一点将在动力学中看到，但物体若平衡，则作用于其上的力系必为平衡力系，即力系的平衡仅是物体的平衡的必要条件，而非充分条件。
二、平面任意力系的平衡方程 1）一矩式
??Fix?0,?Fiy?0,?mA(Fi)?0nnni?1i?1i?1
其中x、y轴不平行，可以是正交的，也可以是斜交的。
2）二矩式
nn???mA(Fi)?0,?mB(Fi)?0,?Fil?0ni?1i?1i?1
?F其中A、B两点的连线不与投影轴l垂直，il表示Fi在l轴上的投影。
3） 三矩式
nn????mA(Fi)?0,?mB(Fi)?0,?mC(Fi)?0ni?1i?1i?1
其中A、B、C三点不共线。
三、平面特殊力系的平衡方程 1） 平面汇交力系
(1)
?Fi?1nnix?0,?Fiy?0i?1nn (其中x、y轴不平行)
(2)
?F?0,m(F?ix?Ai)?0i?1i?1n (其中点A与汇交点的连线不与x轴垂直)
(3)
n???mA(Fi)?0,?mB(Fi)?0i?1i?1 (其中点A、B与汇交点不共线)
2） 平面力偶系
?Mi?1ni?0 (
Mi为平面力偶系中第i个力偶的力偶矩，它为一个代数量)
3） 平面平行力系
(1)
?F?0,m(F?ix?Ai)?0nni?1i?1n (其中x轴不与各力的作用线垂直)
(2)
n??m(F)?0,m(F?Ai?Bi)?0i?1i?1 (其中A、B两点的连线不与各力的作用线平行)
四、空间任意力系的平衡方程的基本形式
nn????Fix?0,?Fiy?0,?Fiz?0,?mx(Fi)?0,?my(Fi)?0,?mz(Fi)?0nnnni?1i?1i?1i?1i?1i?1