?A?lvAy?y其速度、加速度为 由图示杆AB的速度知
1cos?2??
vAy???u?j??u2si?n2lcos2??????0a?v?l???AyAy????u32cos?cos?l因此
?，?????????? 根据图示?、?的 转向有 ????u2cos2????2sin2??cos2???ull所以 ，
计算结果说明，?的真实转向与图示所设相反。 §3.7刚体的平面平行运动 1．刚体平面运动的描述
刚体运动时，如果其上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变，则刚体的这种运动称为刚体的平面运动。
（1） 对刚体平面运动的研究可简化为对平面图形（此图形所在平面与上述固定平面相平行，图形的大小、形状不受限制，可以根据需要进行延伸）在其自身所在平面内运动的研究。
（2） 平面图形S在其平面内的位置，完全可由图形上任一直线AB的位置来确定。 （3） 直线AB的位置可由其上的任一点（不妨取为点A）和AB的方位角?来确定。若S所在面为oxy平面，则刚体平面运动方程为：
?xA?f1(t)??yA?f2(t)???f(t)3?
如果刚体运动不再受其它限制时，上述三个量是独立的，这样的平面运动刚体具有三个自由度。
上述方程的前两个方程是关于点的方程。点的运动研究已在第二章学习过；第三个方程
是对刚体整体运动?—方位的描述，与描述定抽转动刚体运动的转角?有相似之处，但又不完全一样。
2．平面图形的角速度和角加速度
平面图形上任意两直线方位角的变化率均相同，因此将某一直线方位角的变化率称为平
面图形的角速度，以?表示。?为代数量，其数值为：快慢，正、负号表示刚体方位的转向情况。
??d?dt，表示了刚体方位变化的
?所得?，其箭头应画在?增加的方向上，通常，在图上用一带箭头的弧线表示?转向。由?当??0，表明刚体的方位改变方向与图中一致；当??0，刚体的方位变化与图示相反。
平面图形角速度?对时间t的变化率称为平面图形的角加速度，以?表示。?为代数量，其数值为：
d?d2??????2??dtdt
反映了刚体角速度?的变化情况。同样用带箭头的弧线表示?的转向，其转向的确定，以
???及正、负号的含意与?类似。物理量?、?也可以用矢量表示，则???k，???k，其
??d????dt 中k为垂直于平面图形的单位矢量，且有
?3．平面图形上各点的速度 （1） 速度瞬心法
平面图形在运动过程中的任一瞬时，图形上（或其延伸部分）都惟一地存在速度等于零的点P—? 瞬时速度中心。不同瞬时，图形有不同的速度瞬心。刚体的平面运动是由一系列绕不同速度瞬心的瞬时转动所组成。图形上各点的速度分布与定轴转动完全一样，转轴为过点P与图形垂直的直线，因此其上任一点A的速度为
???vA???PA
或 vA?PA??
其方向垂直于PA，与图形角速度?的转向一致。
如果已知某瞬时平面图形的角速度及其速度瞬心的位置，由上式可求出图形上任一点的速度。这种方法称为瞬心法
速度瞬心P的位置的确定方法见表3.1 沿固定面只滚不滑 已知的方向，但不平行 已知直于AB 平行反向，并垂
已知平行同向，大已知，并垂直于AB，则P已知平行，并垂直于小不等，并垂直于AB 在无穷远处，刚体做瞬时 平动。AB。则P在无穷远处，刚体此时，度。 ,各点具有相同的速做瞬时运动。此时，各点具有相同的速度。 , （2） 平面图形上两点的速度关系 平面图形上任意两点的速度具有如下关系
???vB?vA?vBA
???式中 vBA???AB
或 vBA?AB??
方向垂直于AB，并与图形角速度?的转向相一致。
上式又称为基点法，A是基点。它表明平面图形上某点的速度等于基点的速度与图形以其角速度绕基点转动时该点所具有速度的矢量和。 （3） 速度投影定理
平面图形上任意两点的速度在其连线上投影具有相等关系，即
??(vA)AB?(vB)AB
这就是速度投影定理。此定理对于任何形式的刚体运动均成立。
4．平面图形上各点的加速度
平面图形上任意两点的加速度具有如下关系
???n??aB?aA?aBA?aBA
???n?????式中 aBA???(??AB)，aBA???AB
或 aBA?AB??， aBA?AB??
n2??n??aBAaBA的方向由指向，BA的方向垂直于AB，并与图形角加速度?的转向一致。
上式表明平面图形上某点的加速度等于基点的加速度与图形以其角速度?，角加速度
?绕基点转动时该点所具有加速度的矢量和。
5. 刚体作平面平行运动时，动力学方程
Macx??FxMacy??FyIc???mc(F)
?
如果作用于刚体上的外力只有保守力，则由机械能守恒律可知
121mv?Izz?2?V?E22
例：一匀质的圆柱重W，半径为r，无初速地放在倾角为?的斜面上，不计滚动阻力，求
其质心C的加速度。
解：滚动物体在斜面上的运动情况，根据接触处的光滑而有所不同。下面分三种情况讨论： （1） 接触处是理想光滑的，斜面对滚动物体的约束力与斜面垂直而通过物体的质心C，
这种情况下，物体上的作用力对质心的主矩等于零。因此，它只能在斜面上滑下而不发生滚动。此时，可以把物体作为质点处理而求得其平动加速度为g?sin?。
（2） 设接触处相当粗糙，就是说有足够大的摩擦阻力来阻止接触点A的相对滑动。在此
情况下，滚动物体在斜面上作纯滚动，其摩擦阻力F小于其极限值取x、y轴如图所示，列出动力学方程，有
Fm。
macx??Fx ? mac?Wsin??Fmacy??Fy ? 0?N?W?cos?