2014中考数学分类汇编：圆的综合题 - 图文(4)

点评：此 题主要考查了圆的综合应用以及相似三角形的判定与性质和函数增减性等知识，得出扇形MON的面积的最大值与最小值是解题关键． 8. 考点：圆 的综合题． 分析：（ 1）根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案； 2（2）首先得出△CAG∽△BAC，进而得出AC=AG?AB，求出AC即可； （3）先求出AF的长，根据勾股定理得：AG=利用∠ACE=∠ACB=∠ADB，求出即可． 解答：（ 1）证明：连接CD， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD=90°， ∴∠CAD+∠ADC=90°， 又∵∠PAC=∠PBA，∠ADC=∠PBA， ∴∠PAC=∠ADC， ∴∠CAD+∠PAC=90°， ∴PA⊥OA，而AD是⊙O的直径， ∴PA是⊙O的切线； （2）解：由（1）知，PA⊥AD，又∵CF⊥AD，∴CF∥PA， ∴∠GCA=∠PAC，又∵∠PAC=∠PBA， ∴∠GCA=∠PBA，而∠CAG=∠BAC， ∴△CAG∽△BAC， ∴=2，即可得出sin∠ADB=，， 即AC=AG?AB， ∵AG?AB=12， ∴AC=12， ∴AC=2； （3）解：设AF=x，∵AF：FD=1：2，∴FD=2x， ∴AD=AF+FD=3x， 2在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，∴AC=AF?AD， 2即3x=12， 解得；x=2， ∴AF=2，AD=6，∴⊙O半径为3， 2在Rt△AFG中，∵AF=2，GF=1， 根据勾股定理得：AG=由（2）知，AG?AB=12， ∴AB==， ==， 连接BD， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD=90°， 在Rt△ABD中，∵sin∠ADB=∴sin∠ADB=， ，AD=6， ∵∠ACE=∠ACB=∠ADB， ∴sin∠ACE=． 点评：此 题主要考查了圆的综合应用以及勾股定理和锐角三角函数关系等知识，根据已知得出AG的长以及AB的长是解题关键． 9. 考点：圆 的综合题． 分析：（ 1）首先证明Rt△FAO≌Rt△FEO进而得出∠AOF=∠ABE，即可得出答案； （2）过F作FQ⊥BC于Q，利用勾股定理求出y与x之间的函数关系，根据M是BC中点以及BC=2，即可得出BP的取值范围； （3）首先得出当∠EFO=∠EHG=2∠EOF时，即∠EOF=30°时，Rt△EFO∽Rt△EHG，求出y=AF=OA?tan30°=，即可得出答案． 解答：（ 1）证明：连接OE FE、FA是⊙O的两条切线 ∴∠FAO=∠FEO=90° 在Rt△OAF和Rt△OEF中， ∴Rt△FAO≌Rt△FEO（HL）， ∴∠AOF=∠EOF=∠AOE， ∴∠AOF=∠ABE， ∴OF∥BE， （2）解：过F作FQ⊥BC于Q ∴PQ=BP﹣BQ=x﹣y PF=EF+EP=FA+BP=x+y ∵在Rt△PFQ中 ∴FQ+QP=PF 222∴2+（x﹣y）=（x+y） 化简得：，（1＜x＜2）； 222 （3）存在这样的P点， 理由：∵∠EOF=∠AOF， ∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF， 当∠EFO=∠EHG=2∠EOF时， 即∠EOF=30°时，Rt△EFO∽Rt△EHG， 此时Rt△AFO中， y=AF=OA?tan30°=∴∴当 时，△EFO∽△EHG． ， 点评：此 题主要考查了圆的综合应用以及全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出FQ+QP=PF是解题关键． 10. 考点：圆 的综合题． 分析：（ 1）根据切线的判定得出∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA进而求出即可； （2）根据已知得出∠PNM+∠ONA=90°，进而得出∠PNO=180°﹣90°=90°即可得出答案； （3）首先根据外角的性质得出∠AON=30°进而利用扇形面积公式得出即可． 解答：（ 1）PN与⊙O相切． 证明：连接ON，w W w .x K b 1.c o M 则∠ONA=∠OAN， 222∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN． ∵∠AMO=∠PMN，∴∠PNM=∠AMO． ∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA=90°． 即PN与⊙O相切． （2）成立． 证明：连接ON， 则∠ONA=∠OAN， ∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN． 在Rt△AOM中， ∴∠OMA+∠OAM=90°， ∴∠PNM+∠ONA=90°． ∴∠PNO=180°﹣90°=90°． 即PN与⊙O相切． （3）解：连接ON，由（2）可知∠ONP=90°． ∵∠AMO=15°，PM=PN，∴∠PNM=15°，∠OPN=30°， ∵∠PON=60°，∠AON=30°． 作NE⊥OD，垂足为点E， 则NE=ON?sin60°=1×=． CO?NE S阴影=S△AOC+S扇形AON﹣S△CON=OC?OA+=×1×1+=+π﹣π﹣×1×． 点评：此 题主要考查了扇形面积公式以及切线的判定等知识，熟练根据切线的判定得出对应角的度数是解题关键． 11. 考点：圆 的综合题． 分析：（ 1）根据切线的判定定理得出∠1+∠BCO=90°，即可得出答案； （2）利用已知得出∠3=∠2，∠4=∠D，再利用相似三角形的判定方法得出即可； （3）根据已知得出OE的长，进而利用勾股定理得出EC，AC，BC的长，即可得出CD，利用（2）中相似三角形的性质得出NB的长即可． 解答：（ 1）证明：∵△BCO中，BO=CO， ∴∠B=∠BCO， 在Rt△BCE中，∠2+∠B=90°， 又∵∠1=∠2，∴∠1+∠BCO=90°，即∠FCO=90°， ∴CF是⊙O的切线； （2）证明：∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=∠FCO=90°， ∴∠ACB﹣∠BCO=∠FCO﹣∠BCO， 即∠3=∠1，∴∠3=∠2， ∵∠4=∠D，∴△ACM∽△DCN； （3）解：∵⊙O的半径为4，即AO=CO=BO=4， 在Rt△COE中，cos∠BOC=∴OE=CO?cos∠BOC=4×1， 41=1， 4=， =2=2， ， 由此可得：BE=3，AE=5，由勾股定理可得： CE=AC=BC====∵AB是⊙O直径，AB⊥CD， ∴由垂径定理得：CD=2CE=2∵△ACM∽△DCN， ∴=， ， ∵点M是CO的中点，CM=AO=×4=2， ∴CN==﹣==， ． ∴BN=BC﹣CN=2 点评：此 题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定和勾股定理的应用等知识，根据已知得出△ACM∽△DCN是解题关键． 12.考点：反比例函数综合题． 分析：（1）∠AOB=90°，由圆周角定理的推论，可以证明AB是⊙P的直径； （2）将△AOB的面积用含点P坐标的表达式表示出来，容易计算出结果；