（3）对于反比例函数上另外一点Q，⊙Q与坐标轴所形成的△COD的面积，依然不变，与△AOB的面积相等． 解答：（1）证明：∵∠AOB=90°，且∠AOB是⊙P中弦AB所对的圆周角， ∴AB是⊙P的直径．
（2）解：设点P坐标为（m，n）（m＞0，n＞0）， ∵点P是反比例函数y=
（x＞0）图象上一点，∴mn=12．
如答图，过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，则OM=m，ON=n． 由垂径定理可知，点M为OA中点，点N为OB中点， ∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n， ∴S△AOB=BO?OA=×2n×2m=2mn=2×12=24． （3）证明：若点Q为反比例函数y=
（x＞0）图象上异于点P的另一点，
参照（2），同理可得：S△COD=DO?CO=24， 则有：S△COD=S△AOB=24，即BO?OA=DO?CO， ∴DO?OC=BO?OA．
点评：本题考查了反比例函数的图象与性质、圆周角定理、垂径定理等知识，难度不大．试题的核心是考查反比例函数系数的几何意义．对本题而言，若反比例函数系数为k，则可以证明⊙P在坐标轴上所截的两条线段的乘积等于4k；对于另外一点Q所形成的⊙Q，此结论依然成立．
13. 考点：圆 的综合题． 分析：（ 1）连接OA，由OP垂直于AB，利用垂径定理得到D为AB的中点，即OP垂直平分AB，可得出AP=BP，再由OA=OB，OP=OP，利用SSS得出三角形AOP与三角形BOP全等，由PA为圆的切线，得到OA垂直于AP，利用全等三角形的对应角相等及垂直的定义得到OB垂直于BP，即PB为圆O的切线； （2）由一对直角相等，一对公共角，得出三角形AOD与三角形OAP相似，由相似得比例，列出关系式，由OA为EF的一半，等量代换即可得证． （3）连接BE，构建直角△BEF．在该直角三角形中利用锐角三角函数的定义、勾股定理可设BE=x，BF=2x，进而可得EF=x；然后由面积法求得BD=x，所以根据垂径定理求得AB的长度，在Rt△ABC中，根据勾股定理易求BC的长；最后由余弦三角函数的定义求解． 解答：（ 1）证明：连接OA， ∵PA与圆O相切， ∴PA⊥OA，即∠OAP=90°， ∵OP⊥AB， ∴D为AB中点，即OP垂直平分AB， ∴PA=PB， ∵在△OAP和△OBP中， ， ∴△OAP≌△OBP（SSS）， ∴∠OAP=∠OBP=90°， ∴BP⊥OB， 则直线PB为圆O的切线； （2）答：EF=4DO?PO． 证明：∵∠OAP=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA， ∴△OAD∽△OPA， ∴=，即OA=OD?OP， 22∵EF为圆的直径，即EF=2OA， ∴EF=OD?OP，即EF=4OD?OP； （3）解：连接BE，则∠FBE=90°． ∵tan∠F=， ∴=， ∴可设BE=x，BF=2x， 则由勾股定理，得 EF==x， 22∵BE?BF=EF?BD， ∴BD=x． 又∵AB⊥EF， ∴AB=2BD=x， x， 2∴Rt△ABC中，BC=222AC+AB=BC， ∴12+（解得：x=42x）=（， 2x）， ∴BC=4×=20， ==． ∴cos∠ACB= 点评：此 题考查了切线的判定与性质，相似及全等三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键． 14.解析： 解法一：(1) 直线PC与圆O相切。
如图?，连接CO并延长，交圆O于点N，连接BN。 N ∵AB//CD，∴?BAC=?ACD。
∵?BAC=?BNC，∴?BNC=?ACD。
O ∵?BCP=?ACD，∴?BNC=?BCP。
B ∵CN是圆O的直径，∴?CBN=90?。 M ∴?BNC??BCN=90?，∴?BCP??BCN=90?。
C P ∴?PCO=90?，即PC?OC。
?
又点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切。 (4分)
(2) ∵AD是圆O的切线，∴AD?OA，即?OAD=90?。 ∵BC//AD，∴?OMC=180???OAD=90?，即OM?BC。 ∴MC=MB。∴AB=AC。
在Rt△AMC中，?AMC=90?，AC=AB=9，MC=
A D 1
2 BC=3，
由勾股定理，得AM=AC 2?MC 2 =92?32 =62 。 设圆O的半径为r。
在Rt△OMC中，?OMC=90?，OM=AM?AO=62 ?r，MC=3，OC=r， 由勾股定理，得OM 2?MC 2=OC 2，即(62 ?r)2?32=r2。解得r= 在△OMC和△OCP中，
∵?OMC=?OCP，?MOC=?COP，
27 8 2。
27
62 ? 8 2
OM CM 3 ∴△OMC～△OCP。∴=，即= OC PC 27 PC 。
2 8
∴PC=
27
7 。(8分)
A O M C ?
D 解法二：(1) 直线PC与圆O相切。如图?，连接OC。
B P ∵AD是圆O的切线，∴AD?OA， 即?OAD=90?。
∵BC//AD，∴?OMC=180???OAD=90?，
即OM?BC。
∴MC=MB。∴AB=AC。∴?MAB=?MAC。
∴?BAC=2?MAC。又∵?MOC=2?MAC，∴?MOC=?BAC。
∵AB//CD，∴?BAC=?ACD。∴?MOC=?ACD。又∵?BCP=?ACD， ∴?MOC=?BCP。∵?MOC??OCM=90?，∴?BCP??OCM=90?。
∴?PCO=90?，即PC?OC。又∵点C在圆O上，∴直线PC与圆O相切。 (2) 在Rt△AMC中，?AMC=90?，AC=AB=9，MC=
1
2 BC=3，
由勾股定理，得AM=AC 2?MC 2 =92?32 =62 。 设圆O的半径为r。
在Rt△OMC中，?OMC=90?，OM=AM?AO=62 ?r，MC=3，OC=r， 由勾股定理，得OM 2?MC 2=OC 2，即(62 ?r)2?32=r2。解得r= 在△OMC和△OCP中，∵?OMC=?OCP，?MOC=?COP，
27 8 2。
27 62 ? 2
8 OM CM 3 ∴△OMC～△OCP，∴=，即=
OC PC 27 PC 。
2 8
∴PC=
27
。(8分) 7
15. 考点：切 线的性质． 分析： （1）连接BD，根据，可得∠CAD=∠DAB=30°，∠ABD=60°，从而可得∠AFD=90°； （2）根据垂径定理可得OG垂直平分AD，继而可判断OG是△ABD的中位线，在Rt△ABD中求出BD，即可得出OG． 解答：解 ：（1）连接BD， ∵， ∴∠CAD=∠DAB=30°，∠ABD=60°， ∴∠ADF=∠ABD=60°， ∴∠CAD+∠ADF=90°， ∴DF⊥AF． （2）在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AB=10， ∴BD=5， ∵=， ∴OG垂直平分AD， ∴OG是△ABD的中位线， ∴OG=BD=． 点评：本 题考查了切线的性质、圆周角定理及垂径定理的知识，解答本题要求同学们熟练掌握各定理的内容及含30°角的直角三角形的性质． 16. 考点：圆 的综合题；轴对称-最短路线问题． 分析：（ 1）观察发现：利用作法得到CE的长为BP+PE的最小值；由AB=2，点E是AB的中点，根据等边三角形的性质得到CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，再根据含30度的直角三角形三边的关系得CE=； （2）实践运用：过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，根据垂径定理得到CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，则AE的长就是BP+AP的最小值； 由于的度数为60°，点B是的中点得到∠BOC=30°，∠AOC=60°，所以∠AOE=60°+30°=90°，于是可判断△OAE为等腰直角三角形，则AE=OA=； （3）拓展延伸：分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F，然后连结EF，EF交AB于M、交BC于N． 解答：解 ：（1）观察发现 如图（2），CE的长为BP+PE的最小值， ∵在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点 ∴CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1， ∴CE=BE=； 故答案为； （2）实践运用 如图（3），过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB， ∵BE⊥CD， ∴CD平分BE，即点E与点B关于CD对称， ∵的度数为60°，点B是的中点， ∴∠BOC=30°，∠AOC=60°， ∴∠EOC=30°， ∴∠AOE=60°+30°=90°， ∵OA=OE=1， ∴AE=OA=， ∵AE的长就是BP+AP的最小值． 故答案为； （3）拓展延伸 如图（4）．