【知识点精析】
1、曲线运动：
（1）曲线运动的特征：
曲线运动的速度方向时刻指向所在轨迹上该点的切向，因为曲线运动速度方向时刻变化，一定是变速运动，因而具有加速度。曲线运动的物体应受到跟它的速度方向不在同一条直线上的合力，合外力平行速度方向的分力可以改变速度的大小，垂直速度方向的分力改变速度的方向。
（2）运动的性质和轨迹：
物体运动的性质由加速度决定。加速度为零时物体静止或做匀速运动，加速度恒定时物体做匀变速运动，加速度变化时物体做变加速运动。
物体运动的轨迹（直线还是曲线）则由物体的速度和加速度的方向关系决定。速度与加速度方向在同一条直线上时物体做直线运动；速度和加速度方向成角度时物体做曲线运动。 2、运动的合成与分解：
（1）一个物体同时参与几个运动，各分运动具有等时性和独立性，合运动与分运动具有等效替代关系。
（2）运动的合成：加速度、速度、位移都是矢量，遵守矢量合成的平行四边形法则。
运动的合成和分解是研究较复杂运动的一种方法，即较复杂的运动可以看作是几个较简单运动的合运动。
运动合成的规律：
合运动与分运动具有等时性、分运动具有各自的独立性。
两个互成角度的直线运动的合运动是直线运动还是曲线运动决定于它们的合速度和合加速度方向是否共线。
常见的类型有：
（1）a=0：匀速直线运动或静止。
（2）a恒定：性质为匀变速运动，分为： ①v、a同向，匀加速直线运动； ②v、a反向，匀减速直线运动；
③v、a成角度，匀变速曲线运动（轨迹在v、a之间，和速度v的方向相切，方向逐渐向a的方向接近，但不可能达到。）
讨论：（1）两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动；
（2）一个匀速直线运动和匀变速直线运动的合运动仍是匀变速运动： ①两运动共线时为匀变速直线运动； ②两运动不共线时为匀变速曲线运动；
（3）两个匀变速直线运动的合运动仍是匀变速运动：
①两个初速为零的匀加速直线运动的合运动仍是匀加速直线运动； ②合初速度与合加速度共线时为匀变速直线运动； ③合初速度与合加速度不共线时为匀变速曲线运动；
一个分运动是匀速直线运动，另一个分运动是匀变速直线运动，其合运动是一个匀变速曲线运动。反之，一个匀变速曲线运动也可分解为一个方向上的匀速直线运动和另一个方向上的匀变速直线运动——为研究复杂的曲线运动提供了一种方法。 初速度为零的两个匀变速直线运动的合运动是一个初速度为零的匀变速直线运动。 通过观察合速度与合加速度的方向是否共线判定是直线运动还是曲线运动。 a2v2a2v2a1v1av匀变速直线运动a1v1av匀变速曲线运动（3）运动的分解： （1）分解的原则是根据效果分解或正交分解。 物体的实际运动——合运动。合运动是两个（或几个）分运动合成的结果。当把一个实际运动分解， 第1页
在确定它的分运动时，两个分运动要有实际意义。
（2）（小船、汽艇等）渡河问题：
有关小船渡河问题是运动的合成与分解一节中典型实例，难度较大。小船渡河问题往往设置两种情况：①渡河时间最短；②渡河位移最短。 处理此类问题的方法常常有两种： ①将船渡河问题看作水流的运动（水冲船的运动）和船的运动（即设水不流动时船的运动）的合运动。 ②将船的速度v2沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，如图，v1为水流速度，则v1?v2cos?为船实际上沿水流方向的运动速度，v2sin?为船垂直于河岸方向的运动速度。 dθv2v1问题1：渡河位移最短 河宽d是所有渡河位移中最短的，但是否在任何情况下渡河位移最短的一定是河宽d呢？下面就这个问题进行如下讨论： ①v船?v水 要使渡河位移最小为河宽d，只有使船垂直横渡，则应v水?v船cos??0，即v船?v水，因此只有
v船?v水，小船才能够垂直河岸渡河，此时渡河的最短位移为河宽d。渡河时间t?dd?。 v合v船sin?②v船?v水
由以上分析可知，此时小船不能垂直河岸渡河。
以水流速度的末端A为圆心，小船的开航速度大小为半径作圆，过O点作该圆的切线，交圆于B点，此时让船速与半径AB平行，如图，从而小船实际运动的速度（合速度）与垂直河岸方向的夹角最小，小船渡河位移最小。
sv由相似三角形知识可得?水
dv船解得s?v水v船d
渡河时间仍可以采用上面的方法
sdt??
v合v船sin?
③v船?v水
此时小船仍不能垂直河岸渡河。由图不难看出，船速与水速间的夹角越大，两者的合速度越靠近垂直于河岸方向，即位移越小。但无法求解其最小值，只能定性地判断出，船速与水速间的夹角越大，其位移越小而已。
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问题2：渡河时间最短；
渡河时间的长短同船速与水速间的大小关系无关，它只取决于在垂直河岸方向上的速度。此方向上的
d速度越大，所用的时间就越短。因此，只有船的开航速度方向垂直河岸时，渡河时间最短，即t?。
v船（3）跨过定滑轮的绳子拉物体（或物体拉绳子）的运动：
高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。即：体运动的速度是合速度v，物体沿绳方向的分速度v1——使绳伸长（或缩短）的速度，物体垂直于绳的分速度v2——绳子摆动的速度。
例题：如图所示，汽车甲以速度v1拉汽车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，求v1∶v2。
v1 甲 v2 v1 α 乙 解析：甲、乙沿绳的速度分别为v1和v2cosα，两者应该相等，所以有v1∶v2=cosα∶1 （4）曲线运动的一般研究方法：
研究曲线运动的一般方法就是正交分解。将复杂的曲线运动分解为两个互相垂直方向上的直线运动。一般以初速度或合外力的方向为坐标轴进行分解。
解决此类问题的关键是抓住合运动和分运动的实质，准确地判断出分运动或合运动，而后再根据平行四边形定则进行正确的运动合成或分解。 【解题方法指导】
例题1、一条宽为L的河流，河水流速为v1，船在静水中的速度为v2，要使船划到对岸时航程最短，船头应指向什么方向？最短航程是多少？
解析：船在水中航行并不是船头指向什么方向就向什么方向运动，它的运动方向是船在静水中的速度方向与水流方向共同决定的。要使航程最短应是合速度垂直于岸。
题中没有给出v1与v2的大小关系，所以应考虑以下可能情况。 ①当v2>v1时，如左图，船头斜向上游，与岸夹角为θ时，
vv1cos??1 ??arccos
v2v2 此种情况下航程最短为L。
②当v2＜v1时，如中图船头斜向上游，与岸夹角为θ时，用三角形法则分析当它的方向与圆相切时，航程最短，设为s，由几何关系可知此时v2⊥v（合速度）（θ≠0）
vvv2 co?s?2 ??arccos 由相似三角形关系s?1L
v1v2v1 ③当v2=v1时，如图，θ越小航程越短。（θ≠0）
小结：航程最短与时间最短是两个不同概念。航程最短是指合位移最小。时间最短是指用最大垂直河岸的速度过河的时间。解决这类问题的依据就是合运动与分运动的等时性及两个方向运动的独立性。
例题2、如图，重物M沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车m沿斜面升高。则：当滑轮右侧的绳与竖直方向成?角，且重物下滑的速率为v时，小车的速度为多少？
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v'θmvM 解析：解决此类问题的重要思想就是通过对物体的运动进行分解，找到两个物体速度之间的关系。就本题而言，重物M的速度v是它的合速度，绳运动的速度既是小车的合速度又是重物的一个分速度，问题就是另一个分速度是什么。实质上重物在下滑的过程中，既有沿绳向下运动的趋势，同时又有绕滑轮转动的速度，绳的收缩效果与转动效果相互垂直，且为M的两个分运动。 如图，将重物的速度v分解，由几何关系得出小车的速度v'?vcos? θv'v 例题3、如图所示，在竖直平面的xoy坐标系内，oy表示竖直向上方向。该平面内存在沿x轴正向的匀强电场。一个带电小球从坐标原点沿oy方向竖直向上抛出，初动能为4J，不计空气阻力。它达到的最高点位置如图中M点所示。求：
y/m 3 2 v0 1 M v1 N x/m 2 4 6 8 10 12 14 16 o （1）小球在M点时的动能E1。
（2）在图上标出小球落回x轴时的位置N。 （3）小球到达N点时的动能E2。 解析：
（1）在竖直方向小球只受重力，从O→M速度由v0减小到0；在水平方向小球只受电场力，速度由0增大到v1，由图知这两个分运动平均速度大小之比为2∶3，因此v0∶v1=2∶3，所以小球在M点时的动能E1=9J。
（2）由竖直分运动知，O→M和M→N经历的时间相同，因此水平位移大小之比为1∶3，故N点的横坐标为12。
（3）小球到达N点时的竖直分速度为v0，水平分速度为2v1，由此可得此时动能E2=40J。
【考点突破】
【考点指要】
本单元包括的知识点有：曲线运动的速度方向和条件、运动的合成，在北京地区高考试题中，本部分知识常与其他知识结合考察。尤其涉及到基本方法：利用运动合成与分解的方法，这是将复杂的问题利用分解的方法将其划分为若干个简单问题的基本方法，在整个物理学研究问题中都是经常用到的。 【典型例题分析】
例题1、（05上海-10）如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊着物体B的吊钩。在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体B向上吊起，A、B之间的距离以d?H?2t2 （SI）（SI表示国际单位制，式中H为吊臂离地面的高度）规律变化，则物体做
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A. 速度大小不变的曲线运动； B. 速度大小增加的曲线运动；
C. 加速度大小方向均不变的曲线运动； D. 加速度大小方向均变化的曲线运动。
分析：物体B在水平方向参与匀速运动的同时，竖直方向以a=4m/s2向上匀加速直线运动，加速度保持不变，速度方向时刻改变、大小不断增加，合运动为匀变速曲线运动。正确答案是BC。
例题2、（05北京-24）真空中存在空间范围足够大的、水平向右的匀强电场。在电场中，若将一个质量为m、带正电的小球由静止释放，运动中小球速度与竖直方向夹角为37°（取sin37°＝0.6，cos37°=0.8）。现将该小球从电场中某点以初速度v0竖直向上抛出。求运动过程中
①小球受到的电场力的大小及方向；
②小球从抛出点至最高点的电势能变化量； ③小球的最小动量的大小及方向。 解析：
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①根据题设条件，电场力大小Fe=mgtan37°＝ mg，电场力的方向水平向右。
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②小球沿竖直方向做匀减速运动，速度为vy=v0－gt
Fe3
沿水平方向做初速度为0的匀加速运动，加速度为ax= = g
m4
v013v0小球上升到最高点的时间t= ，此过程小球沿电场方向位移sx= axt2=
g28g99
电场力做功 W=Fxsx＝ mv02，小球上升到最高点的过程中，电势能减少 mv02
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③水平速度vx=axt，竖直速度vy=v0－gt，小球的速度v=vx2+vy2
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由以上各式得出 g2t2－2v0gt+（v02－v2）=0
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16v033
解得当t= 时，v有最小值 vmin= v0，小球动量的最小值为pmin=mvmin＝ mv0
25g55129vy3
此时vx＝ v0，vy= v0，tanθ= = ，即与电场方向夹角为37°斜向上，最小动量的方向与电场方
2525vx4
向夹角为37°，斜向上。
【达标测试】
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