自动控制原理
知识要点与习题解析
第2章 控制系统的数学模型
数学模型有多种表现形式：传递函数、方框图、信号流图等。
G(s)H(s)?(s)?e(s)?n(s)?en(s)； r(t)n(t)；c(t)e(t)?；P32 (自动控制原理p23)
2-17 知控制系统的方框图如题2-17图所示，试用方框图简化方法求取系统的传递函数。
R(s) - G1(s) G2(s) H2(s) G3(s) C(s) - (e) H1(s) G4(s) 题2-1 7图 控制系统方框图 P33
解： 方框图简化要点，将回路中的求和点、分支点等效移出回路，避免求和点与分支点交换位置。
H2(s) (e) - R(s) C(s) G1(s) G3(s) G2(s) - H1(s) 1/G3(s)
H1(s) 1/G3(s) G4(s)
H2(s) -
R(s) G1(s) G2(s)G3(s)/[1+G2 (s)H1(s)] H1(s)/G3(s) G4(s) C(s) 题2-17解图 控制系统简化方框图
?(s)?G1G2G3?G4；
1?G2H1?G1G2H1?G2G3H2
P37 (p73)
2-21 试绘制与题2-21图中系统方框图对应的信号流图，并用梅森增益公式求传递函数
C(s)/R(s) 和误差传递函数E(s)/R(s)
G4(s) E(s) R(s) G1(s) H1(s) G2(s) G3(s) C(s) (a) - - H2(s) 题2-21图 系统方框图
注：P21(2) 依据系统方框图绘制信号流图
首先确定信号流图中应画出的信号节点，再根据方框图表明的信号流向，用支路及相应的传输连接信号节点。步骤如下，
(a)系统的输入为源点，输出为阱点；
(b)在方框图的主前向通路上选取信号节点，即相加点后的信号和有分支点的信号，两信号是同一个信号时只作为一个节点；
(c)其它通路上，仅反馈结构求和点后的信号选作节点； (d)最后，依据信号关系，用支路连接这些节点。 解：图(a)信号流图如题2-21解图(a)所示。
回路
E(s) G4 R(s) G1 -H1 G2 G3 -H2 C(s) -H1H2 题2-21解图 系统信号流图
计算C(s)/R(s)和E(s)/R(s)过程中，关于回路和特征式的计算是完全相同，可统一计算。
L1??G1H1，L2??G3H2，L3??G1G2G3H1H2；
特征式 ??1?G1H1?G3H2?G1G2G3H1H2?G1G3H1H2。 计算C(s)/R(s)：
前向通路 P1?G1G2G3，P2?G4G3； 特征子式 ?1?1，?2?1?G1H1；
C(s)G1G2G3?G4G3(1?G1H1)； ?R(s)1?G1H1?G3H2?(G2?1)G1G3H1H2计算E(s)/R(s)：
前向通路 P1?1；P2??G4G3H1H2； 特征子式 ?1?1?G3H2，?2?1；
E(s)1?G3H2?G4G3H1H2； ?R(s)1?G1H1?G3H2?(G2?1)G1G3H1H2
P38 (p73)
2-22 试用梅森增益公式求题2-22图中各系统信号流图的传递函数C(s)/R(s)。 G8 R(s) C(s) G1 G2 G3 G4 G5 G6 -H1 -H2 -H3 G7 -H4
-H5 (b) 题2-22图 系统信号流图
解：(b) P 1?G1G2G3G4G5G6，P2?G7G3G4G5G6，P3?G1G8G6，P4??G7H1G8G6；
L1??G2H1，L2??G4H2，L3??G6H3，L4??G3G4G5H4，
L5?G8H1H4，L6??G1G2G3G4G5G6H5，L7??G7G3G4G5G6H5， L8??G1G8G6H5，L9?G7H1G8G6H5；
??1??Li?L1L2?L1L3?L2L3?L2L5?L2L8?L2L9?L1L2L3；
i?19?1?1，?2?1，?3??4?1?G4H2；
?P?(P3?P4)(1?G4H2)C(s)P； ?12R(s)?
第3章 线性系统的时域分析
本章重点：线性系统的时域指标；掌握闭环极点与动态响应的关系。
时域指标?p、tp和ts； ? 特征参数?和?n。
P49
线性定常系统的重要特性 线性定常系统对输入信号导数的响应，等于系统对该信号响应的导数；或者，系统对输入信号积分的响应，等于系统对该信号响应的积分。
P57(p134)
3-4已知二阶系统的单位阶跃响应为
c(t)?10?12.5e?1.2tsin(1.6t?53.1?)，
试求系统的超调量?p、峰值时间tp和调节时间ts。 解：方法一，先计算闭环传递函数，再计算?和?n；
{sin(1.6t?53.1?)?cos53.1?sin1.6t?sin53.1?cos1.6t} 100.6?1.6?0.8?(s?1.2)10?41C(s)??12.5???(s)R(s)； 222s(s?1.2)?1.6s?2.4s?4s2即得 2??n?2.4，?n?4；?n?2，??0.6；
?p?exp(???/1??2)?9.5%；tp??/?d?1.9635秒； ts?3/(??n)?2.5秒,??0.05；ts?4/(??n)?3.33秒,??0.02。
方法二，直接根据典型二阶系统单位阶跃响应计算?和?n；
c(t)?10?12.5e?1.2t??1?????nt2sin(1.6t?53.1)?10?1?esin(?n1??t?arccos?)??1??2????，
??cos53.1??0.6，??n?1.2，(?n1??2?1.6)，?n?2；
P62 (p136)
3-16 知单位反馈系统的开环传递函数如下，试求静态位置误差系数Kp，静态速度误差系数
Kv，静态加 速度误差系数Ka
50；
(0.1s?1)(2s?1)K(2) G(s)?；
s(s2?4s?200)10(2s?1)(4s?1)(3) G(s)?22。
s(s?2s?10)(1) G(s)?
｛ ｛ ｛
Kp?limG(s) ｝
s?0Kv?limsG(s) ｝
s?0Ka?lims2G(s) ｝
s?0
解：(1) Kp?50；Kv?0；Ka?0；
(2) Kp??；Kv?0.005K；Ka?0； (3) Kp??；Kv??；Ka?1；
P62 (p136)
3-17设单位反馈系统的开环传递函数为G(s)?1/(Ts)。试用稳态误差级数法求出，当输入信号分别为r1(t)?t2/2和r2(t)?sin2t时，系统的稳态误差。 解：?e(s)?Ts；c0?0，ci??(?T)i，i?0；( 解题基本步骤参阅P56 3.6.4 ) 1?Tsr1(t)?t2/2：
r1?(t)?t，r1??(t)?1，r1(i)(t)?0，i?2； e1ss(t)?c0r(t)?c1r1?(t)?c2r1??(t)?T(t?T)；
r2(t)?sin2t时，有两种解法；
(2k)(1)稳态误差级数法：r2(t)?(?22)ksin2t，r2(2k?1)(t)?2(?22)kcos2t，k?0；
e2ss(t)??i?0??cir2(i)??c2k(?2)sin2t??2c2k?1(?22)kcos2t
2kk?0????(?1)k?1k?1(2T)sin2t??(?1)(2T)2kkk?0?k?02k?14T22Tcos2t?2sin2t?2cos2t4T?14T?1；
e2ss(t)?Asin(2t??)，式中 A?2T/(4T2?1)1/2，??arccosA。
*(2)据?e(j2)计算（频率响应）： 1/(2T)]；|?e(j2)|?2T(1?4T2)?1/2，??e(j2)?arctan[1/(2T)]?arccosA； e2ss(t)?Asin(2t??)，式中 A?2T/(4T2?1)1/2，??arctan[
P56 3.6.4稳态误差级数和动态误差系数(t足够大)
要了解稳态误差随时间变化的情况，需使用稳态误差级数。 计算稳态误差级数的基本步骤：
(1) 正确计算误差传递函数?e(s)、?en(s)；
(2) 计算输入信号r(t)的各阶导数r(i)(t)，i?0,?,I；r(i)(t)?0，i?I；
计算扰动信号n(t)的各阶导数n(j)(t)，j?0,?,J；n(j)(t)?0，j?J； (3) 依据?e(s)用长除法计算动态误差系数ci，i?0,?,I；
依据?en(s)用长除法计算动态误差系数dj，j?0,?,J； (4) 计算稳态误差ess(t)?
P52 3.4.2 闭环主导极点
高阶系统能够用不具有零点的二阶系统近似的条件：
有一对距离(记为d)虚轴最近的共轭复数极点，且附近无闭环零点，其余的零点和极点远离(?5d)虚轴或零极点几乎相消。高阶系统可以近似为：
?crii?0I(i)(t)??djn(j)(t)。
j?0Jk?lim?(s)，2??n??(p1?s?02p2)，?n2?n。 ?p1p2；?(s)??(s)?k22s?2??ns??n
易知，系统的时域性能指标可以用典型二阶系统的计算公式近似计算。
第4章 根轨迹法
研究系统参数变化对闭环系统特性的影响，参数变化的作用，体现在对闭环极点的影响上。要点：绘制180°根轨迹图
P76 (p167)
4-8 设负反馈系统的开环传递函数
G(s)?ks(s?4)(s?4s?20)2p1 ，
Im s2 s1 p4 0 p3 试概略绘制该系统的根轨迹图。
解：*p1,2??2?j4，p3?0，p4??4；n?m?4；
*渐近线，?a??2，?a??45,?135； *实轴上的根轨迹，(?4,0)；
*与实轴的交点和重根点，(s?2)(s2?4s?10)?0
??Re s2 p2 题4-8解图 根轨迹图 s1??2，k1?64；s2,2??2?j2.4495，k2?100；
?*起始角，?p1?90???(?2?j4)??(2?j4)??90?；?p2?90
42*与虚轴的交点，Re：??36??k?0，Im：?(?2?10)?0；???3.1623，kc?260。
系统的根轨迹图如题4-8解图所示。
P70 规则5：根轨迹与实轴的交点(闭环系统的重极点、分离点)，满足方程
?dA(s)dB(s)kB(s)?B(s)?A(s)?0； ?G(s)??； dsdsA(s)??
P86
9. 已知负反馈系统的开环传递函数G(s)，试选择k值，使闭环系统的超调量σp≤25%，调节时间ts≤10 秒。
G(s)?解：(P89)根轨迹方程
k(s?3)(s?2s?2)2；
k??1；
(s?3)(s2?2s?2)o
o
* p1,2 = -1±j，p3 = -3； n–m = 3；* 渐进线，σa = -5/3，φa=±60，180； * 实轴上的根轨迹，(-∞，-3)；
23
* 与虚轴的交点，Re：-5ω + 6 + k = 0； Im：-ω + 8ω= 0；ωc=±2.83，kc = 34；
oooo
* 起始角，θp1 = 180 - 90 -∠(-1 + j + 3) = 63.4，θp2 =-63.4； 根轨迹如题9解图所示