题9解图 根轨迹图
该三阶系统近似满足具有闭环主导极点条件。性能指标可按二阶系统近似计算， σ
o
p=25%时， ζ= 0.4，系统阻尼角为β= 66.4；作等阻尼线OA，使之与实轴夹角为
113.6o。 OA与根轨迹交点为(闭环主导极点)?1??0.4?n?j?n1?0.162，特征多项式
满足
2(s2?0.8?ns??n)(s??3)?s3?5s2?8s?6?k；
解得ωn =1.73，λ3 = -3.616，k = 4.82；闭环主导极点?1,2??0.692?j1.586； 此时，ts = 4/(0.4×1.73) = 5.78 < 10秒，满足要求。
第5章 线性系统的频域分析法
5.1 频率特性
频率特性概念 当正弦信号x(t)?Xsin?t作用于稳定的线性定常系统G(s)的输入时，系统的稳态输出是与输入同频率的正弦信号，其幅值和相角都是频率?的函数，即为
c(t)?X|G(j?)|sin[?t??G(j?)]。
幅频特性 |G(j?)|；相频特性 ?G(j?)；频率特性 G(j?)。
传递函数G(s) ? 频率特性G(j?){ 幅频特性|G(j?)|、相频特性?G(j?) }
传递函数G(s) ? 对数幅频渐近特性曲线； 相角裕度
?5.5 稳定裕度(相对稳定性)
?180???G(j?c) (幅值穿越频率?c)。
幅值裕度 kg?1/|G(j?g)|，或 20logkg (相角穿越频率?g)。 计算相角裕度、幅值裕度要点：先计算?c和?g的值。
P104 (p216)
5-12 已知最小相位系统的对数幅频渐近特性如下，试确定系统的开环传递函数。
解：(a) G(s)? G(s)?(b) G(s)? G(s)?
P108 (p218)
5-23 对于典型二阶系统，已知?p?15%，ts?3s，试计算剪切频率?c和相角裕度?。
40 0 -20 db -20 100 -20 ω
db -40 20 -20 0 10 -20 100 -40 ω
(a) 题5-12图对数幅频渐近特性曲线
(b) K(T2s?1)???K?100T?0.1；(2?1000； ,2?33)；T?0.01，2T1?1003(T1s?1)(T3s?1)?1?1?2100(0.1s?1)。
(100s?1)(0.01s?1)K(T1s?1)K?100T1?0.316；,，； ??10010T2?0.00316s2(T2s?1)?1?102100(0.316s?1)。
s2(0.00316s?1)?p?exp[???/(1??2)1/2]?0.15，??0.517；ts?3/(??n)?3，?n?1.934；
2?n典型二阶系统的开环传递函数G(s)?；
s(s?2??n)??据 |G(j?c)|?1，(c)4?4?2(c)2?1?0；
?n?n解：
?c??n(4?4?1?2?2)1/2；??arctan{2?(4?4?1?2?2)1/2}；
答案：?c?1.497，??53.18?。
第6章 线性系统的校正方法
6.2 串联校正
串联校正设计方法包括频率响应法和根轨迹法。 串联超前校正 校正环节传递函数及频率特性为
Ts?1?T??1??1?Gcc(j?m)?arctan?arcsin?0，|Gcc(j?m)|???1。
??12?串联滞后校正 校正环节传递函数及频率特性为
Gcc(s)??Ts?1，??1；?m?1，
Gcz(s)?Ts?1，??1；T?c?10：
?Ts?1?Gcz(j?c)??5?，|Gcz(j?c)|?101100??12??1?。
串联滞后-超前校正 单独使用超前校正或滞后校正，设计烦琐；在设计指标要求严格
时，许多情况下不能完成任务。若无限制，一般应采用滞后-超前校正。
6.2.3 根轨迹法校正设计
基本概念： (1) 动态性能校正 将闭环主导极点放置在性能指标要求的位置上；
(2) 增益校正 使开环增益满足设计要求。
P122 (p266)
6-2 设单位负反馈系统的开环传递函数
G0(s)?k。
s(s?3)(s?9)(1) 如果要求系统在单位阶跃输入作用下的超调量满足?p?20%，试确定k值； (2) 根据所求得的k值，求系统在单位阶跃输入作用下的调节时间ts，及静态速度误差系数Kv；
(3) 设计一串联校正装置，使系统的Kv?20s?1，?p?15%，ts减小一半以上。 解：分析闭环主导极点距虚轴约为1.5，而第三个极点距虚轴距离大于9；
exp[???(1??2)?1/2]?0.2，??0.456；?d?0.89?n，s1,2?(?0.456?j0.89)?n；
k(1) 和满足：s3323222s?12s?27s?k?s?(0.9?n?s3)s1?(?n?0.92?ns3)s?1?ns3， 2得到?n?2.38rad/s，s1,2??1.085?j2.118，s3??9.83；k?55.68；
(2) Kv?2.0622；ts?4/(??n)?3.69s；
(3) 设计指标是时域指标：Kv?20s?1，?p?15%，ts?1.84s；适于采用根轨迹法设计；
* 计算闭环主导极点
exp[???(1??2)?1/2]?0.15；??0.55?0.517(留有余地)；?n?4/(0.55?1.8)?4.04。
s1,2??2.222?j3.374；对应多项式为s2?4.44s?16.32；
* 校正动态特性
特征多项式满足 s(s?a)(s?9)?k?(s?4.444s?16.32)(s?b)； 解得
2a?8.026；b?12.582；k?205.338；即 Gc1(s)?s?0s?3；
s?8.026* 校正开环增益 Kv?limsGc1(s)G0(s)?2.843；
??20/2.843?6.51；取 z?0.2；p?0.0284；
s?0.2(s?0.2)(s?3)；Gc(s)?Gc2(s)Gc1(s)?； Gc2(s)?s?0.0284(s?0.0284)(s?8.026)205.338(s?0.2)校正后开环传递函数为： G(s)?。
s(s?0.0284)(s?8.026)(s?9)-1
* 检验：动态校正保证闭环主导极点条件和位置，滞后校正保证Kv=20s，检查滞后校正环节引起的相角变化，?Gc2(s1)??(?2.022?j3.374)??(?2.194?j3.374)??2.1?；
影响很小，满足设计要求。
P126 (p266)
6-6设单位负反馈系统的开环传递函数G0(s)
G0(s)?8，
s(2s?1)
若采用的滞后-超前校正环节Gc(s)
Gc(s)?(10s?1)(2s?1)。
(100s?1)(0.2s?1)试绘制系统校正前后的对数幅频渐近特性，并计算系统校正前后的相角裕度。 解：校正后开环传递函数为G(s)?次为，
0.01 0.1 0.5 1 dB -20 8(10s?1)；校正前后的对数渐近幅频特性依
s(100s?1)(0.2s?1)dB -20 -40 -20 1 5 ω -40 0.01 0.1 题6-6解图 反馈系统校正前和校正后的幅频渐近特性曲线 ω -40 ~/0.5)?0，?~?2，?~?14.04?； 近似计算：20log(8/0.5)?40log(?c0c00~?74.5?； ?~/0.1)?0，?~?0.8，20log(8/0.01)?40log(0.1/0.01)?20log(?cc精确计算：|G0(j?c0)|?1，
|G(j?c)|?1， ?c0?1.969， ?0?14.25?； ?c?0.796， ??74.5?。
第7章 线性离散系统分析与校正
7.2.2 Z变换计算方法 Z变换有三种基本计算方法
(1) 级数求和法 直接将级数形式的Z变换求和，得到闭合形式的Z变换表达式。 (2) 部分分式法 信号x(t)的拉氏变换为x(s)，且无重极点，将其展开成部分分式之和，因各分式对应的Z变换是已知的，经通分计算得到最终的Z变换闭式。
?nAi?n?z?。 x(z)?Z???(s?s)x(s)i???Ts?z?e?s?si?i?1s?si?i?1?(3) 留数计算法 当 X(s)具有重极点时，应采用留数计算法，
K?dri?1?z???1?rix(z)???(s?s)x(s)?， iri?1?Ts?z?e?s?si?i?1??(ri?1)!ds??式中 K—不同极点个数；ri —极点si的阶数。易知，部分分式法是留数计算法的特例。
P161 (p349)
7-18 设离散系统如题7-18图所示，其中T =0.1s，K =1，r(t)=1(t)，试求静态误差系数Kp、Kv、Ka，并
计算系统稳态误差e(∞)。
解：G(z)?Z[z?1r(t) - e(t) e*(t) 1-e-T s s K c(t) s (s+1) 题7-18图 离散系统方框图 10.1z?10.004837(z?0.9673)?1](1?z)??1??； 2?0.1z?1(z?1)(z?0.9048)s(s?1)z?eKp?limG(z)??； Kv?lim(z?1)G(z)?0.1； Ka?lim(z?1)2G(z)?0。
z?1z?1
e(?)?T/Kv?1。
?1?1?Tzzz?11 Z?2?Z??????22?T??s(s?1)sss?1(z?1)z?1z?e????
第8章 非线性控制系统分析
8.3.1 相平面的基本概念 二阶非线性系统
???f(x,x?)?0，x(0)?x0，x?(0)?x?0； x?的非线性函数或线性函数 ?)是x和x式中 f(x,x?dx?dx??dxx?/?；
?dxdtdtx??)?0dxf(x,xdx相轨迹方程(斜率) 。x轴上某点使得???，其斜率值不确定，称
?dxxdx0相平面法；相变量；相平面；相轨迹；相轨迹斜率 为奇点。
8.3.3非线性系统的相平面分析
开关线 线性分区的边界称为开关线。
极限环 非线性系统的持续振荡在相平面的曲线称为(稳定的)极限环。
P197
?(0)?0，试绘制r(t) = 1(t)的相轨迹图，给出4. 非线性控制系统如题4图所示，设c(0)?c极限环的运动周期及振幅。
r e 0.2 u 2 c -0.2 s( s +1) _ -0.2 0.2 题4图 非线性系统结构图 P200
解：相平面划分成两个线性区，运动方程为
???e??2x??? er??r??0&e??0.2)：e??0&e?0.2)和(e???e??0.4?0； Ⅰ区(e???0.4； ???0.4/(??1)；渐近线 e等倾线方程 e?01?0.4)?(e?01?0.4)e?t?0.4t，e?(t)?(e?01?0.4)e?t?0.4， 运动方程 e(t)?(e01?e?01)表示相轨迹在Ⅰ区的起点； 式中 (e01,e??0&e?0.2)和(e??0&e??0.2)：e???e??0.4?0； Ⅱ区(e??0.4； ??0.4/(??1)；渐近线 e等倾线方程 e?02?0.4)?(e?02?0.4)e?t?0.4t，e?(t)?(e?02?0.4)e?t?0.4， 运动方程 e(t)?(e02?e?02)表示相轨迹在Ⅱ区的起点； 式中 (e02,e可采用等倾线法绘制相轨迹图，受绘图精度的限制很难得到准确的极限环参数。采用解析法能得到较精确的极限环参数。
解析法绘制相轨迹图：起点(1,0)，首段相轨迹在Ⅰ区的下半区；相轨迹在各区所耗时间及通过分区边界点依次为