江苏省2010届高三数学考前专练（20）
1．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且1?tanA2c．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ?tanBb（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若m?(0,?1)，n?cosB,2cos2C，试求|m?n|的最小值．
2
2口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．（Ⅰ）求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率； （Ⅱ）这种游戏规则公平吗?试说明理由．
?3．直棱柱ABCD1??A1B1C中BAD＝∠ADC＝90°，1D，底面ABCD是直角梯形，∠
AB?2AD?2CD?2．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）在A1B1上是否存一点P，使得
DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论．
D
A1 D1 A C C1 B1
B
4．已知函数f(x)?12（a＞0，且a≠1），其中为常数．如果h(x)?f(x)?g(x) x－2x,g(x)?logax2是增函数，且h?(x)存在零点（h?(x)为h(x)的导函数）．（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1 5．已知(x?12x)n的展开式中前三项的系数成等差数列． y2?y1x2?x1（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）求展开式中系数最大的项． 参考答案 1.解：（Ⅰ）1?tanA2csinAcosB2sinC，??????3分 ??1??tanBbsinBcosAsinBsinBcosA?sinAcosB2sinC， ?sinBcosAsinBsin(A?B)2sinC1，∴cosA?． ?????????5分 ?sinBcosAsinB2π．????????7分 3C?1)?(cosB,cosC)， 22π1π?B)?1?sin(2B?)．10分 326即∴ ∵0?A?π，∴A?（Ⅱ）m?n ?(cosB,2cos2?|m?n|2?cos2B?cos2C?cos2B?cos2(∵A?π2π2π，∴B?C?，∴B?(0,)． 333ππ7π从而??2B??．???????????12分 666ππ12∴当sin(2B?)＝1，即B?时，|m?n|取得最小值．???13分 632所以，|m?n|min?评讲建议： 本题主要考查解三角形和向量的运算等相关知识，要求学生涉及三角形中三角恒等变换 时，要从化角或化边的角度入手，合理运用正弦定理或余弦定理进行化简变形；在第二小题中，要强调多元问题的消元意识，进而转化为函数的最值问题，注意定义域的确定对结论的影响，并指明取最值时变量的取值． 2.解：（I）设“甲胜且两数字之和为6”为事件A，事件A包含的基本事件为 （1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共5个．????2分 又甲、乙二人取出的数字共有5×5＝25（个）等可能的结果， ????4分 所以P(A)?2．??????????????14分 251?． ???????????????????????6分 2551答：编号的和为6的概率为．?????????????????????7分 5 （Ⅱ）这种游戏规则不公平．??????????????????????9分 设“甲胜”为事件B，“乙胜”为事件C， ?????????????10分 则甲胜即两数字之和为偶数所包含的基本事件数为13个： （1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5）， （4，2） ，（4，4），（5，1） ，（5，3），（5，5）． 所以甲胜的概率P（B）＝ 131312，从而乙胜的概率P（C）＝1－＝．14分 252525由于P（B）≠P（C），所以这种游戏规则不公平． ????????15分 评讲建议： 本题主要考查古典概率的计算及其相关知识，要求学生列举全面，书写规范．尤其注意 此类问题的答题格式：设事件、说明概型、计算各基本事件种数、求值、作答． 引申：连续玩此游戏三次，若以D表示甲至少赢一次的事件，E表示乙至少赢两次的事件，试问D与E是否为互斥事件?为什么?（D与E不是互斥事件．因为事件D与E可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意；亦可分别求P（D）、P（E），由P（D）＋ P（E）>1可得两者一互斥．） 3.证明：（Ⅰ） 直棱柱ABCD?A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，?BB1⊥AC． ???2分 又 ∠BAD＝∠ADC＝90°，AB?2AD?2CD?2， ∴AC?2，∠CAB＝45°，∴BC?2，? BC⊥AC．????????5分 又BB1BC?B，BB1,BC?平面BB1C1C，? AC⊥平面BB1C1C． ??7分 （Ⅱ）存在点P，P为A1B1的中点． ?????????????????8分 证明：由P为A1B1的中点，有PB1‖AB，且PB1＝又∵DC‖AB，DC＝1AB．??????????9分 21AB，?DC ∥PB1，且DC＝ PB1， 2∴DC PB1为平行四边形，从而CB1∥DP．?????????????11分 又CB1?面ACB1，DP ?面ACB1，?DP‖面ACB1．????????13分 同理，DP‖面BCB1．??????????????????????14分 评讲建议： 本题主要考查线面平行、垂直的的判定和证明等相关知识，第一小题要引导学生挖掘直角梯形ABCD中BC⊥AC，第二小题，要求学生熟练掌握一个常用结论：若一直线与两相交平面相交，则这条直线一定与这两平面的交线平行；同时注意问题的逻辑要求和答题的规范性，这里只需要指出结论并验证其充分性即可，当然亦可以先探求结论，再证明之，这事实上证明了结论是充分且必要的． 变题： 求证：（1）A1B⊥B1D；（2）试在棱AB上确定一点E，使A1E∥平面ACD1，并说明理由． 14.解：（Ⅰ）因为h(x)?x2?2x?logax(x?0)， 21x2lna?2xlna?1所以h?(x)?x?2?． ????????????3分 ?xlnaxlna因为h（x）在区间(0,??)上是增函数， x2lna?2xlna?1所以≥0在区间(0,??)上恒成立． xlna若0 又h?(x)存在正零点，故△＝（－2lna）2－4lna＝0，lna＝0，或lna＝1与lna<0矛 盾． 所以a>1． 2 由x2lna?2xlna?1?0恒成立，又h?(x)存在正零点，故△＝（－2lna）－4lna＝0， 所以lna＝1，即a＝e． ??????????????????????7分 （Ⅱ）由（Ⅰ），g?(x0)?以下证明x1?x2?x111y?y1，于是?2，x0?．??????9分 lnx2?lnx1x0x0x2?x1x2?x1． （※） lnx2?lnx1（※）等价于x1lnx2?x1lnx1?x2?x1?0． ????????????11分 令r（x）＝xlnx2－xlnx－x2＋x，??????????????????13分 r ′（x）＝lnx2－lnx，在（0，x2］上，r′（x）>0，所以r（x）在（0，x2］上为增 函数． 当x1 从而x0?x1得到证明．??????????????????????15分 对于x2?x2?x1同理可证???????????????????16分 lnx2?lnx1所以x1?x0?x2． 评讲建议： 此题主要考查函数、导数、对数函数、二次函数等知识．评讲时注意着重导数在研究函数中的应用．本题的第一小题是常规题比较容易，第二小题是以数学分析中的中值定理为背景，作辅助函数，利用导数来研究函数的性质，是近几年高考的热点．第二小题还可以这样证明： x2?1xx2?x1x1要证明x1?，只要证明>1，令2?t，作函数h（x）＝t－1－lnt，下略． xx1lnx2?lnx1ln2x11125.解：（Ⅰ）由题设，得 C0??C?2??C1nnn， ??????????????3分 42即n2?9n?8?0，解得n＝8，n＝1（舍去）．????????????4分 1r?1?1rC≥C8，8r??22r?1（Ⅱ）设第r＋1的系数最大，则?????????????6分 11r?1?Cr≥C8.8rr?1??221?1≥，??8?r2(r?1)即? 解得r＝2或r＝3． ?????????????8分 11?≥.??2r9?1所以系数最大的项为T3?7x，T4?7x．??????????????10分 说明：掌握二项式定理，展开式的通项及其常见的应用． w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 592