专题一. 函数与导数
(一) 关于结构图——知识，方法，思维，易错点.
1.高中函数知识结构图
2. 导数知识结构图
1
3. 函数的思维方法
4. 函数的思维特征
2
(二)典型例题
bex?1x?例题1.设函数f(x)?aeln，曲线y?f(x)在点
xxy?e(x?1)?2. 处的切线为(1,f(1)) (Ⅰ) 求a,b； （Ⅱ）证明：f(x)?1.
分析：第一问考查导数的几何意义，面向全体考生；注意函数问题定义域优先的原则！
解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为(0,??)，
abbf?(x)?aexlnx?ex?2ex?1?ex?1
xxx由题意可得f(1)?2,f?(1)?e 故a?1,b?2.
2ex?1（Ⅱ）分析：常规方法证明f(x)?elnx??1，
xx 即证：f(x)min?1
3
ex2xex?1?2ex?1 所以f'(x)?elnx? ?xx2x12ex?1(x?1) 所以f(x)?e(?lnx)?， 2xxx太复杂了！！无从下手！！
2ex?1再次分析：证明elnx??1 难点在哪里？
xx困难在于存在exlnx，求导后还存在exlnx，麻烦！！ 初步思考必须把ex与lnx分离，怎么分离？ 不外乎加减乘除！！
2ex?1仔细观察：elnx??1，
xx其中ex?0，定义域别忘了，还有x?0；
2ex?1(1) elnx??1?xexlnx?2ex?1?x
xx?xlnx?xe?x??xlnx?xe?x
2 e2??
eex?1ex?12ex?1x??1?0 (2) elnx??1?elnx?xxxx?ex(lnx?x11)?(ex?1?x)?0 exx22ex?1(3) elnx??1?ex(lnx?)?1.
exx（Ⅱ）方法一：
2x?1xf(x)?elnx?e，ex?0,x?0 由（Ⅰ）知，
x4
从而f(x)?1等价于xlnx?xe?x2? e2. e 设g(x)?x?lnx，h(x)?x?e?x? 若g(x)min?h(x)max，是否可行？试一试吧！ g(x)?x,g?(x)?1?lnx. ?lnx ?当x?(0,)时，g?(x)?0，当x?(,??)1e1e时，g?(x)?0.
?g(x)在(0,)上单调递减，在(,??)上单调递增. ?g(x)min?g()?? h(x)?x?e?x?1e1e1e1, 注意“x?0” e2,h?(x)?e?x?x?e?x?e?x(1?x). e ?当x?(0,1)时，h?(x)?0，当x?(1,??)时，h?(x)?0.
?h(x)在(0,1)上单调递增，在(1,??)上单调递减.
??. ?h(x)max?h(1) 综上，x?0时，g(x)??1e11，h(x)??, ee而两个等号不可能同时取到， 所以g(x)?h(x)，即f(x)?1.
2ex2ex?1x?1?0. 方法二：分析：e?lnx??1等价于e?lnx?exxxx 等价于e(lnx?11)?(ex?1?x)?0. exx ?g(x)?h(x)?即可0.
11，)h(x)?(ex?1?x) .
xex111ex?1 令?(x)=lnx?，??(x）. =?2?2exxexexx g(x）=e(lnx?5