lnxxn4、f(x)?x?lnx， f(x)?， f(x)?n
xlnxn
例2. (2013全国2理科21)已知函数f(x)?ex?ln(x?m)．
(1)设x?0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当m?2时，证明f(x)?0. 解：(1)f′(x)＝ex－
1
x＋m由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1. 于是f(x)＝ex－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，
f′(x)＝ex－.
x＋1
函数
1
f′(x)＝ex－
1
x＋1
在(－1，＋∞)单调递增，
且f′(0)＝0，因此当x∈(－1，0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－1，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．
(2)证明：
方法一：
当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)， 故只需证明当m＝2时，f(x)>0. 当m＝2时，函数
f′(x)＝ex－
1
x＋2
在(－2，＋∞)单调递增．
又f′(－1)<0，f′(0)>0，
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故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1，0)． 当x∈(－2，x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0， 从而当x＝x0时，f(x)取得最小值． 由f′(x0)＝0得ex0＝
1
1
，ln(x0＋2)＝－x0，
x0＋2
（x0＋1）2故f(x)≥f(x0)＝＋x0＝>0.
x0＋2x0＋2综上，当m≤2时，f(x)>0.
方法二：∵x??1时，
x?ln(1?x)?x. 1?x ∴x+1?ln(x+2), 当且仅当x??1取等号. 又∵m?2
∴ln(x+2)?ln(x?m)
又∵ex?x+1，当且仅当x?0取等号. ∴ex?x+1?ln(x+2)?ln(x?m) 不等式中前两个等号不可能同时取得. ∴ex?ln(x?m). 即ex?ln(x?m)?0成立.
(上式中，x??1时，ln(x+1)?x，
x?R时，ex?x+1，均可以用导数知识证明)
总结一：常规方法遇阻碍，分而治之显神奇——泰勒公式藏天机！ 总结二：分离分类寻零点，对数平均爱偏移——数形结合显神通！
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1. 降龙十八掌——分类讨论，不重不漏！ 例题3.已知函数f(x)?x3?ax?1, g(x)??lnx. 4(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线y?f(x) 的切线； (Ⅱ)用min{m,n}表示m,n中的最小值，设函数
h(x)?min{f(x),g(x)}(x?0) ，讨论h(x)零点的个数.
分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出
切点坐标与对应的a值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将x分为x?1,x?1,0?x?1研究h(x)的零点个数， 若零点不容易求解，则对a再分类讨论.
解：（Ⅰ）设曲线y?f(x)与x轴相切于点(x0,0)，则f(x0)?0，
1?3?x0?ax0??04， f?(x0)?0，即??3x2?a?0?0解得x0?13,a??. 243时，x轴是曲线y?f(x)的切线. 4因此，当a??（Ⅱ）当x?(1,??)时，g(x)??lnx?0，从而
h(x)?min{f(x),g(x)}?g(x)?0，
∴h(x)在（1，+∞）无零点. 当x=1时，若a??55，则f(1)?a??0，44h(1)?min{f(1),g(1)}?g(1)?0,
故x=1是h(x)的零点；
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若a??55，则f(1)?a??0，44h(1)?min{f(1),g(1)}?f(1)?0,
故x=1不是h(x)的零点.
当x?(0,1)时，g(x)??lnx?0， 所以只需考虑f(x)在（0,1）的零点个数.
(ⅰ)若a??3或a?0，则f?(x)?3x2? a在（0,1）无零点，故f(x)在（0,1）单调，而f(0)?15，f(1)?a?， 44所以当a??3时，f(x)在（0，1）有一个零点； 当a?0时，f(x)在（0，1）无零点. (ⅱ)若?3?a?0，则f(x)在（0，?a）单调递减， 3在（?a，1）单调递增， 3a时，f(x)取的最小值， 3故当x=?最小值为f(?2aa1a??. )=3343①若f(?3a)＞0，即?＜a＜0，
43f(x)在（0,1）无零点.
②若f(?)=0，即a??a33， 4则f(x)在（0,1）有唯一零点； ③若f(?)＜0，即?3?a??14
a33，由于45315f(0)?,f(1)?a?，所以当??a??时，
4444f(x)在（0,1）有两个零点；
当?3?a??5时，f(x)在（0,1）有一个零点 435或a??时，h(x)由一个零点； 4435或a??时，h(x)有两个零点； 44综上，当a??当a??当?53?a??时，h(x)有三个零点. 44考点：利用导数研究曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想.
上面是我们在各种途径中可以看到的答案！但是同学们，通过阅读答案可能还是一头雾水，如何分类讨论，如何准确的找到分类讨论点，才能做到不重不漏，轻松应对呢？
研究函数f(x)?ax3?bx2?cx?d，a?0的图像. 可以详细研究函数f(x)的单调性，极值情况，方程f(x)?0的根的情况！
因为f'(x)?3ax2?2bx?c，
所以这里??4b2?12ac?4(b2?3ac)，
2(1) 当b?3ac?0，方程f'(x)?0有两个不同的实数根
x1,x2，不妨设x1?x2，
单调性：在(??,x1)，(x2,??)上单调递增，
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