11?k(1?x)?x?x2x2?(1?k)x?1?k f'(x)? ?k?x??1?xx?1x?1 令f'(x)?0
x2?(1?k)x?1?k 即?0，所以有x2?(1?k)x?1?k?0
x?1 V?(1?k)2?4(1?k)?k2?2k?3?(k?3)(k?1) （1）当?3?k?1时，V?0恒成立，所以f'(x)?0 函数f(x)的单调增区间为(?1,??)；
（2）当k?1时，V?0，方程x2?(1?k)x?1?k?0的二根为
k?1?k2?2k?3k?1?k2?2k?3 x1?，x1? 22 （考虑当k?1时，方程的两个根是否在定义域里）
k?1?k2?2k?3k?1?k2?2k?3x1?(?1)??(?1)??0
22k?1?k2?2k?3)上，f'(x)?0 所以在区间(?1,2k?1?k2?2k?3k?1?k2?2k?3,)上， 在区间(22f'(x)?0
k?1?k2?2k?3,??)上，f'(x)?0 在区间(2k?1?k2?2k?3)， 函数f(x)的单调增区间为(?1,2k?1?k2?2k?3(,??)
2函数f(x)的单调减区间为
k?1?k2?2k?3k?1?k2?2k?3(,).
22（3）当k??3时，V?0，方程x2?(1?k)x?1?k?0的二根为
k?1?k2?2k?3k?1?k2?2k?3 x1?，x1? 22 （考虑当k??3时，方程的两个根是否在定义域里）
21
k?1?k2?2k?3k?1?k2?2k?3x2?(?1)??(?1)??0
22所以在区间(?1,??)上，f'(x)?0 函数f(x)的单调增区间为(?1,??).
综上：当k?1时，函数f(x)的单调增区间为(?1,??). 当k?1时， 函
数
f(x)的单调增区间为
k?1?k2?2k?3(?1,)，
2k?1?k2?2k?3(,??)
2函数f(x)的单调减区间为
k?1?k2?2k?3k?1?k2?2k?3(,).
22
例题4变式2：已知函数f(x)?k?ln(1?x)?x?x2，
求f(x)的单调区间．
解：依题意，函数f(x)定义域为(?1,??)， kk?(1?x)?x?x2x2?k?1 f'(x)? ?1?x??1?xx?1x?1x2?k?1 令f'(x)?0，即?0，x2?k?1?0
x?112（1）当k?1时，f'(x)?0
函数f(x)的单调增区间为(?1,??)；
（2）当k?1时，方程x2?k?1?0的二根为
x1??1?k，x2?1?k ①当0?k?1时，?1??1?k?1?k
22
所以在区间(?1,?1?k)上，f'(x)?0 在区间(?1?k,1?k)上，f'(x)?0 在区间(1?k,??)上，f'(x)?0
函数f(x)的单调增区间为(?1,?1?k)，(1?k,??) 函数f(x)的单调减区间为(?1?k,1?k). x2?1 ②当k?0时，f'(x)?
x?1 所以在区间(?1,1)上，f'(x)?0 在区间(1,??)上，f'(x)?0
函数f(x)的单调增区间为(1,??)， 函数f(x)的单调减区间为(?1,1). ③当k?0时,?1?k??1?1?k 所以在区间(?1,1?k)上，f'(x)?0 在区间(1?k,??)上，f'(x)?0
函数f(x)的单调增区间为(?1,1?k)， 函数f(x)的单调减区间为(1?k,??).
综上：当k?1时，函数f(x)的单调增区间为(?1,??)；
当0?k?1时，
函数f(x)的单调增区间为(?1,?1?k)，(1?k,??) 函数f(x)的单调减区间为(?1?k,1?k). 当k?0时，
函数f(x)的单调增区间为(1,??)， 函数f(x)的单调减区间为(?1,1).
23
当k?0时,
函数f(x)的单调增区间为(?1,1?k)， 函数f(x)的单调减区间为(1?k,??).
2. 乾坤大挪移——分离参数，转化划归. 例题
5.
(2016
全国
1
理
21)
已知函数
f(x)?(x?2)ex?a(x?1)2有两个零点.
(I)求a的取值范围；
(II)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1?x2?2. 解：
（Ⅰ）方法一：(分类讨论)
f'(x)?(x?1)ex?2a(x?1)?(x?1)(ex?2a)．
（i）设a?0，则f(x)?(x?2)ex，f(x)只有一个零点． （ii）设a?0，则当x?(??,1)时，f'(x)?0；
当x?(1,??)时，f'(x)?0．
所以f(x)在(??,1)上单调递减，在(1,??)上单调递增． 又f(1)??e，如图：
x–1yO12324
我们希望能够找到x1?1,x2?1，
并且有f(x1)?0，f(x2)?0，任务就完成了！！ 方法一：静态取点，附近尝试！ 这种情况下，不妨就近取值进行尝试
f(2)?a?0，满足题意！x2?1，f(x2)?0完成.
而f(0)??2?a，
f(?1)??3e?1?4a等等都依赖于a，怎么办？
麻烦在于ex身上，我们有什么办法把它“干掉”呢？
方法二：动态找点，适当放缩！
我们不妨向负方向走远一点，在(??,0)内找找看！ 分析(x?2)ex?a(x?1)2的结构特征， 因为x?0，ex?e，x?2?0，
所以(x?2)ex?e(x?2)，—— “干掉”ex！ 所以
f(x)?(x?2)ex?a(x?1)2
?e(x?2)?a(x?1)2?2e(x?1)?a(x?1)2
令2e(x?1)?a(x?1)2?0，即2e?a(x?1)?0， 解得x?1?2e?1 a25