知?(x)在(0,)上单调递减，在(,??)上单调递增； 11ee ??(x)1min??(e)?. 0 ??(x)?0，即g(x)?0，当且仅当x?1e时取等号. 令?(x)=ex?1?x，??(x)?ex?1?1. 知?(x)min??(1)?0.
??(x)?0，即h(x)?0，当且仅当x?1时取等号.
综上所述，当x?0时，ex(lnx?1ex)?1x(ex?1?x)?0即f(x)?1
方法三：
分析：题目中有ex,lnx,x，应该联想到重要熟知的 不等式ex?x?1，就能得到下面流畅的证明.
用导数易证ex?x?1，当且仅当x?0时取等号.
?ex?1?x,当且仅当x?1时取等号.
于是方法二中，h(x)?1x?x(e1?x)?0 ?ex?ex,当且仅当x?1时取等号.
?e?lnx?e(?lnx)，当且仅当?lnx?1时取等号，
即当且仅当x?1e时取等号. ?elnx?1?(?e)?lnx. lnx?1?lnx?e1?e??ex. (也可以用g(x)?x?lnx??1e证明)
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，即lnx?11?0，当且仅当x?时取等号.
eex于是证法2中的g(x)?0，?f(x)?1.
总结：ex?x?1 ex?1?x ex?ex e?lnx?e(?lnx)
公式关系清晰，一气呵成！ 方法四：
2ex分析：欲证e?lnx??1.
exx2)?1即可. ex11由方法三，可得lnx??0，当且仅当x?取等号.
eex即证e(lnx?x又∵ex?ex … ① 当且仅当x?1取等号. ∴lnx?21? … ② exexx∴由①和②可得：e(lnx?2)?1， ex这里关键是等号不能同时成立. ∴f(x)?1.
方法五：（与方法四证明类似）
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∵lnx??x11，当且仅当x?取等号.
eexex?1∴e?lnx??.
x2ex?1ex?1∴e?lnx?. ① ?xxx∵ex?x?1.
∴ex?1?x，当且仅当x?1取等号.
ex?1∴?1 . ②
x2ex?1∴由①、②可知e?lnx??1.
xx（注意：两个等号不能同时成立） 即f(x)?1.
2ex方法六：欲证e?lnx??1
exx即证x?lnx?x?e?x??设g(x)?x?lnx.
2. 主要还是等价变形. e则g(e?x)?e?x?lne?x??x?e?x.
（这里关键是注意到g(x)?x?lnx与g(e?x)??x?e?x 之间隐含着复合函数的关系）
?x∴只需证明g(x)?g(e)??2. e由方法一可知?x?(0,??)，g(x)??1， e8
1取等号. e1∴g(e?x)??，当且仅当x?1取等号.
e2?x∴g(x)?g(e)??，（两个等号不能同时成立）
e当且仅当x?∴f(x)?1.
点评：这种方法实在很难想！
基于上述7种方法的思考：
看来我们有必要梳理一下，其中重要的不等式： 泰勒展开式及其变形.
xx2∵e?1???1!2!xxn??n!
这个式子也叫麦克劳林公式. 当0?x?1时，
x2有1?x?e?1?x?x??xn??1 ① 1?x1??ln(1?x) ② 1?xx∵x??ln(1?x)，其中x用替换.
1?xxx??ln(1?)?ln(1?x) ③ ∴
1?x1?xx?ln(1?x)?x,(0?x?1) ④ 由②③得：
1?x即 ln(1?x)?x?lnx还有，e?x?1.(x?R) ⑤ 注意等号成立条件.
1.(x?1) ⑥ 1?xx?ln(1?x)?x,(x??1) ⑦ 加强④可得
1?xex?还有：lnx?x?ex,(x?o) ⑧
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lnx?x?1，（当且仅当x?1取等号） ⑨
ex?1?x，ex?ex，
x1?， xee11lnx??，x?lnx??等等.
exe
基于上面的思考: 证法7:
x1?,当且仅当x?1取等号. exe11 x?lnx??，当且仅当x?取等号.
ee1x1x?lnx??x?.
eeeexexx?e?lnx??x?.
eex2exe?lnx??1.
exx2ex?1即e?lnx??1成立.
xx是否很帅！
最后，关注以下函数，课下练习巩固. 1、f(x)?x?ex， f(x)?x?ex
xex f(x)?x?e， f(x)?x， f(x)?
exx2、f(x)?x?lnx， f(x)?x?lnx， f(x)?x?lnx， f(x)?xlnx， f(x)? lnxxnxxnex3、f(x)?x?e， f(x)?x， f(x)?n
ex10