x?(0,??)，其中x0为函数f(x)的极值点，然后求导确定H(x)的单调性，结合H(0)?0确定H(x)的符号，最后通过f(x)的单调性得到结论！
证明：依题意，
设H(x)?f(1?x)?f(1?x)?(x?1)ex?1?(x?1)e1?x，
x?(0,??)
所以H'(x)?x(ex?1?e1?x)?ex(ex?e?x)?0， 所以函数H(x)在(0,??)上单调递增且H(0)?0， 所以H(x)?0恒成立.
由(1)可知x1?1?x2，x2?1?0，所以H(x2?1)?0， 即H(x2?1)?f(1?x2?1)?f]1?(x2?1)] ?f(x2)?f(2?x2)?0 所以即f(x2)?f(2?x2)成立， 结合单调性，证明结束！
怎们样！有没有一种畅快淋漓的感觉！！
套路二：对数平均不等式
所谓对数平均不等式，是指对于a,b?0，
有
a?ba?b. ?lna?lnb2 证明：不妨设a?bx(x?0)，
则不等式变为
x?1x?1?，即可证明. lnx231
下面我们来试试！！
首先，简化问题，将函数f(x)?(x?2)ex?a(x?1)2的
图象向左平移1个单位长度，得到函数
g(x)?(x?1)ex?1?ax2，
所以原题等价于g(x)?(x?1)ex?1?ax2有两个零点， 证明：x1?x2?0.
证明：由(1)知函数g(x)的单调递减区间为(??,0)，
单调增区间为(0,??)，
设x1?x2，由(1)知0是函数g(x)的极值点，又
g(1)?a，则x1?0?x2?1，由g(x1)?g(x2)?0得
(1?x2)ex2?1?ax22两边分别取对数得：(1?x1)ex1?1?ax12，
ln(1?x1)?x1?1?lna?lnx12 ln(1?x2)?x2?1?lna?lnx22
两式相减得x2?x1?ln(1?x1)?ln(1?x2)?lnx22?lnx12 根据对数平均不等式：
ln(1?x1)?ln(1?x2)lnx22?lnx121??
x2?x1x2?x1ln(1?x1)?ln(1?x2)lnx22?lnx12??(x2?x1) 22(1?x1)?(1?x2)x2?x1?22?2(x2?x1)
(1?x1)?(1?x2)x2?x12因为x1?0?x2?1，2?x1?x2?0，x22?x12?0， 所以
(2?x1?x2)(x22?x12)?2(x22?x12)?2(x2?x1)(2?x1?x2)32
等价于?(x1?x2)[(x1?1)2?(x2?1)2?2]?0 所以(x1?x2)?0.
利用对数平均不等式解决极值点偏移问题的步骤如下： (1) 根据f(x1)?f(x2)建立等式；
(2) 如果含有参数，则消参；如果等式中含有指数式，
则两边取对数；
(3) 通过恒等变形改变结构，利用对数平均不等式得到
需要的结论.
综上不论是构造对称差函数还是对数平均不等式，共同点都是构造函数把二元问题化归为一元问题，体现了转化与化归的数学思想！！
我们再看2017年的考题：
例题6(2017 全国1理21)已知函数f(x)?ae2x?(a?2)ex?x. （1）讨论f(x)的单调性；
（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围. 解：
（1）f(x)的定义域为(??,??)，
f?(x)?2ae2x?(a?2)ex?1?(aex?1)(2ex?1)，
（ⅰ）若a?0，则f?(x)?0，所以f(x)在(??,??)单调递
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减.
（ⅱ）若a?0，则由f?(x)?0得x??lna. 当x?(??,?lna)时，f?(x)?0； 当x?(?lna,??)时，f?(x)?0，
所以f(x)在(??,?lna)单调递减，在(?lna,??)单调递增. （2）（ⅰ）若a?0，由（1）知，f(x)至多有一个零点.
（ⅱ）若a?0，由（1）知，当x??lna时，
f(x)取得最小值，
最小值为f(?lna)?1?1?lna. a①当a?1时，由于f(?lna)?0，故f(x)只有一个零点； ②当a?(1,??)时，由于1?1?lna?0，即af(?lan?)，
故f(x)没有零点； ③当a?(0,1)时，1?1?lna?0，即f(?lna)?0. a又f(?2)?ae?4?(a?2)e?2?2??2e?2?2?0， 故f(x)在(??,?lna)有一个零点. 设正整数n0满足n0?ln(?1)，则 3af(n0)?en0(aen0?a?2)?n0?en0?n0?2n0?n0?0.
由于ln(?1)??lna， 因此f(x)在(?lna,??)有一个零点. 综上，a的取值范围为(0,1).
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3a对于第（2）问我们不妨这样思考：
由（1）知a?0时，f(x)在(??,?lna)单调递减，
在(?lna,??)单调递增.
若f(x)有两个零点，需要具备满足三个条件： (1) f(?lna)?lna?1?1?0 a(2) 找到x1??lna，使得f(x1)?0； (3) 找到x2??lna，使得f(x2)?0.
此题与2016全国1理21第(1)问的方法是一致的！
因为f(?lna)?lna?x1-lnax1xy1?1， a35