二次函数压轴题专项练习 （一） 由运动产生的线段和差问题
一、线段的和最短问题
例1、如图，已知抛物线的方程C1:y??1?x?2?(x?m)?m?0?与x 轴相交于点B、C，与y 轴相交 m2)，(2)在(1)的条件下，于点E，且点B 在点C 的左侧.(1)若抛物线C1过点M(2，求实数m 的值．求△BCE 的面积．(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标．
对应练习：
1、如图，已知抛物线y?ax2?bx?c经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式及对称轴．（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标．
2、已知：抛物线的对称轴为与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中
?2?．A??3，0?C?0，、
（1）
求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标．
y
A O B x
C
?43?1，?????23y?ax?bx?c??，交x轴于A、B两点，交y轴于点3、如图，抛物线的顶点P的坐标为
C(0，?3)．、（1）求抛物线的表达式．（2）把△ABC绕AB的中点E旋转180°，得到四边形ADBC．
判断四边形ADBC的形状，并说明理由．（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得△FBD的周长最
小，若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
y
A O C E B x D P 4、如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
5、已知：抛物线y?ax?bx?c?a?0?的对称轴为x??1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点
2C，其中A??3， ?2?．0?、C?0，（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标． （3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
[来源学科网]
y A O B x C
6、如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.
（1）求点B的坐标； （2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.
（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由. y B
7、如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线y?ax2上． (1) 求a的值及点B关于x轴对称点 P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标； (2) 平移抛物线y?ax2， 记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定 点．① 当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；② 当 抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此 时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．
y A 8 6 4
B 2 D C -4 -2 O -2 -4 2 4 x A O x 例2、如图（1），抛物线y?3218x?x?3和y轴的交点为A,M为OA的55中点，若有一动点P，自M点处出发，沿直线运动到x轴上的某点（设为
(第24题) 点E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后又沿
直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短的点E，点F的坐标，并求
出这个最短路程的长。 y A F M x E O
对应练习：
1、如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y?5x?m (m为常数)的图象与x轴交于点A(?3，40)，与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线y?ax2?bx?c (a，b，c 为常数，且a≠0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．（1）求m的值及抛物线的函数表达式；3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于
M1(x1，y1) ，M2(x2，y2)两点，试探究
M1P?M2P 是否为定值，并写出探究过程．
M1M2
二、线段的差最短问题
y??例2、如图，抛物线
12x?x?24的顶点为A，与y 轴交于点B．(1)求点A、点B的坐标；
(2)若点P是x轴上任意一点，求证：PA-PB≤AB；(3)当PA-PB最大时，求点P的坐标
y
A
· B
x O
1、如图，抛物线l交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3）．将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1．（1）求l1的解析式；（2）在l1的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；
2、如图，已知直线y?11x?1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y?x2?bx?c与直线22交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，0)。⑴求该抛物线的解析式；⑵动
点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。⑶在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM?MC|的值最大，求出点M的坐标。