导数在研究函数中的应用3——利用导数研究不等式成立
1、设函数f(x)?2x3?3ax2?3bx?8c在x?1及x?2时取得极值。 （1）求a、b的值；
3]，都有f(x)?c2成立，求c的取值范围。 （2）若对于任意的x?[0，解：（1）f?(x)?6x2?6ax?3b，因为函数f(x)在x?1及x?2取得极值，则有
?6?6a?3b?0，f?(1)?0，f?(2)?0，即?，解得a??3，b?4。
24?12a?3b?0．?（2）由（1）可知，f(x)?2x3?9x2?12x?8c，f?(x)?6x2?18x?12?6(x?1)(x?2)。
1)时，f?(x)?0； 当x?(0，，2)时，f?(x)?0； 当x?(13)时，f?(x)?0； 当x?(2，所以，当x?1时，f(x)取得极大值f(1)?5?8c，又f(0)?8c，f(3)?9?8c。 则当x??0，3?时，f(x)的最大值为f(3)?9?8c。
因为对于任意的x??0， 3?，有f(x)?c2恒成立，所以9?8c?c2，得c??1或c?9，
?1)(9，??)。 因此c的取值范围为(??，2、设函数f(x)?tx2?2t2x?t?1(x?R，t?0)。 （1）求f(x)的最小值h(t)；
2)恒成立，求实数m的取值范围。 （2）若h(t)??2t?m，对于t?(0，解：（1）
f(x)?t(x?t)2?t3?t?1(x?R，t?0)，
?当x??t时，f(x)取最小值f(?t)??t3?t?1，即h(t)??t3?t?1。
（2）令g(t)?h(t)?(?2t?m)??t3?3t?1?m，
由g?(t)??3t2?3?0得t?1，t??1（不合题意，舍去）。 当t变化时g?(t)，g(t)的变化情况如下表：
?g(t)在(0，2)内有最大值g(1)?1?m。
h(t)??2t?m在(0，2)内恒成立等价于g(t)?0在(0，2)内恒成立，即等价于1?m?0，
所以m的取值范围为m?1。 3、已知函数f?x??x?a?b?x?0?，其中a,b?R。 x（1）若曲线y?f?x?在点P?2,f?2??处的切线方程为y?3x?1，求函数f?x?的解析式；
（2）讨论函数f?x?的单调性；
?1??1?（3）若对于任意的a??,2?，不等式f?x??10在?,1?上恒成立，求b的取值范
?4??2?围。
解：（1）f?(x)?1?a， 2x由导数的几何意义得f?(2)?3，于是a??8， 由切点P(2，f(2))在直线y?3x?1上可得?2?b?7，
8解得b?9，所以函数f(x)的解析式为f(x)?x??9。
xa（2）f?(x)?1?2，
x当a?0时，显然f?(x)?0(x?0)，这时f(x)在???,0?，?0,???内是增函数； 当a?0时，令f?(x)?0，解得x??a； 当x变化时，f?(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以f(x)在(??,?a]，[a,??)内是增函数，在(?a，0)，(0，a)内是减函数。
?1??1?（3）解：由（2）知，f(x)在?,1?上的最大值为f??与f(1)中的较大者，
?4??4??1??1?2?，不等式f(x)≤10在?,1?上恒成立， 对于任意的a??，?2??4??f当且仅当???f?39??1?b≤?4a，?≤10，??即 4?4???(1)≤10，?b≤9?a7?1?2?成立，从而得b≤7，所以满足条件的b的取值范围是(??,]。对任意的a??， 244??4、设函数f(x)?x4?ax3?2x2?b(x?R)，其中a,b?R。 （1）当a??10时，讨论函数f(x)的单调性； 3（2）若函数f(x)仅在x?0处有极值，求a的取值范围；
，（3）若对于任意的a???2， 2?，不等式f(x)?1在??11?上恒成立，求b的取值范围。
解：（1）f?(x)?4x3?3ax2?4x?x(4x2?3ax?4)；
10时，f?(x)?x(4x2?10x?4)?2x(2x?1)(x?2)。 31令f?(x)?0，解得x1?0，x2?，x3?2。
2当a??当x变化时，f?(x)，f(x)的变化情况如下表：
?1??1?
?∞)内是增函数，在(?∞，0)，?，所以f(x)在?0，?，(2，2?内是减函数。
?2??2?（2）f?(x)?x(4x2?3ax?4)，显然x?0不是方程4x2?3ax?4?0的根； 为使f(x)仅在x?0处有极值，必须4x?3ax?4≥0恒成立， 即有??9a2?64≤0；
解此不等式，得?≤a≤，这时，f(0)?b是唯一极值，因此满足条件的a的
?88?取值范围是??，?。
?33?83832（3）由条件a???2，2?可知??9a2?64?0，从而4x2?3ax?4?0恒成立。 当x?0时，f?(x)?0；当x?0时，f?(x)?0。
，因此函数f(x)在??11?上的最大值是f(1)与f(?1)两者中的较大者。 ，为使对任意的a???2，2?，不等式f(x)≤1在??11?上恒成立，当且仅当
，?b≤?2?a，?f(1)≤1即?在a???2，2?上恒成立； ?f(?1)≤1，b≤?2?a??所以b??4，因此满足条件的b的取值范围是(??,4]。
5、设函数f(x)?ax?2，g(x)?a2x2?lnx?2，其中a?R,x?0。 （1）若a?2，求曲线y?g(x)在点(1,g(1))处的切线方程；
（2）是否存在负数a，使f(x)?g(x)对一切正数x都成立？若存在，求出a的取 值范围；若不存在，请说明理由。
解：（1）由题意可知：当a?2时，g(x)?4x2?lnx?2，则g?(x)?8x?曲线y?g(x)在点(1,g(1))处的切线斜率k?g?(1)?7，又g(1)?6
曲线y?g(x)在点(1,g(1))处的切线的方程为y?6?7(x?1)，即y?7x?1。 （2）设函数h(x)?f(x)?g(x)?ax?lnx?a2x21 x(x?0)
假设存在负数a，使得f(x)?g(x)对一切正数x都成立。
即：当x?0时，h(x)的最大值小于等于零。
1?2a2x2?ax?12h?(x)?a??2ax?(x?0)
xx令h?(x)?0可得：x2??当0?x??当x??11,x1?（舍） 2aa1时，h?(x)?0，h(x)单增； 2a1时，h?(x)?0，h(x)单减。 2a1所以h(x)在x??处有极大值，也是最大值。
2a?h(x)max1?31?h(?)?0解得：a??e4
2a2，
1?3所以负数a存在，它的取值范围为：a??e42。 16、已知函数f(x)?(a?)x2?lnx。（a?R）
2（1）当a?1时，求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值；
（2）若在区间(1,??)上，函数f(x)的图象恒在直线y?2ax下方，求实数a的取值范围。
121x2?1解：（1）当a?1时，f(x)?x?lnx，f?(x)?x??；
2xx对于x?[1,e]，有f?(x)?0，∴f(x)在区间[1,e]上为增函数，
e21∴fmax(x)?f(e)?1?，fmin(x)?f(1)?。
221（2）令g(x)?f(x)?2ax?(a?)x2?2ax?lnx，则g(x)的定义域为(0,??)
2在区间(1,??)上，函数f(x)的图象恒在直线y?2ax下方等价于g(x)?0在区间
(1,??)上恒成立。
1(2a?1)x2?2ax?1(x?1)[(2a?1)x?1]?∵g?(x)?(2a?1)x?2a??
xxx
11，令g?(x)?0，得极值点x1?1，x2?， 22a?11当x2?x1?1，即?a?1时，在(x2,??)上有g?(x)?0，此时g(x)在区间(x2,??)上
2①若a?是增函数，并且在该区间上有g(x)?(g(x2),??)，不合题意；
当x2?x1?1，即a?1时，同理可知，g(x)在区间(1,??)上，有g(x)?(g(1),??)也不合题意； ②若a?1，则有2a?1?0，此时在区间(1,??)上恒有g?(x)?0，从而g(x)在区间2(1,??)上是减函数；要使g(x)?0在此区间上恒成立，只须满足
11?0?a??， 2211由此求得a的范围是[?,]。
2211综合①②可知，当a?[?,]时，函数f(x)的图象恒在直线y?2ax下方。
22g(1)??a?