三角函数y?Asin(?x??)的图像与性质（一）
?1、已知函数f(x)?sin(?x?)(??0)的最小正周期为π，则该函数的图像（ ）
3????（A）关于点(,0)对称 （B）关于直线x?对称 （C）关于点(,0)对称 （D）关于直线x?对称
4433?2、函数f(x)?sin(2x?)的图像的对称轴方程可以为（ ）
3π5πππ
（A）x＝ （B）x＝ （C）x＝ （D）x＝ 121236
?3、若函数y?sin(x?)的图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，则得到的函数为（ ）
31?1?2??（A）y?sin(x?) （B）y?sin(x?) （C）y?sin(2x?) （D）y?sin(2x?)
262333?4、如图，单摆的摆线离开平衡位置的位移S(cm)和时间t(s)的函数关系是S?2sin(?t?)，t?[0,??)，则摆球往
4复摆动一次所需要的时间是 s。
5、对于函数f(x)?2sinxcosx，下列选项中正确的是（ ）
??（A）f(x)在(,)上是递增的 （B）f(x)的图像关于原点对称
42（C）f(x)的最小正周期为2? （D）f(x)的最大值为2
?6、函数y?cos2(x?)是（ ）
2（A）最小正周期是π的偶函数 （B）最小正周期是π的奇函数 （C）最小正周期是2π的偶函数 （D）最小正周期是2π的奇函数
7、用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的简图时，若所得五个点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，x4，x5，3π
且x1＋x5＝，则x2＋x4等于（ ）
2
π3π
（A） （B）π （C） （D）2π
22
8、函数f(x)?sin(?x??)(x?R,??0,0???2?)的部分图像如图所示，则（ ）
πππππππ5π（A）ω＝，φ＝ （B）ω＝，φ＝ （C）ω＝，φ＝ （D）ω＝，φ＝ 243644449、函数y＝sinx?cosx的图像可由y＝sinx＋cosx的图像向右平移（ ）
3πππ
（A）个单位长度得到 （B）π个单位长度得到 （C）个单位长度得到 （D）个单位长度得到
24210、将函数y＝sin(ωx＋φ)(??0,?4π2π
向右最少平移个单位长度，或向左最少平移个单位长度，????)的图像，
332所得到的函数图像均关于原点中心对称，则ω＝
ππ
11、已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋n的最大值为4，最小值是0，最小正周期是，直线x＝是其图像的一条对称轴，
23若A?0，??0，0????2，则函数解析式为
π3?3??12、给出下面的3个命题：①函数y?sin(2x?)的最小正周期是；②函数y?sin(x?)在区间[?,)上单调
22235π5?递增；③x＝是函数y?sin(2x?)的图像的一条对称轴。其中正确命题的序号是
4213、一个物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间x(s)之间的一组对应值如下表所示：
t y 0 －4.0 0.1 －2.8 0.2 0.0 0.3 2.8 0.4 4.0 0.5 2.8 0.6 0.0 0.7 －2.8 0.8 －4.0 画出散点图，根据散点图可近似地选择三角函数模型描述该物体的位移y和时间x之间的关系，则其函数解析式为
π
14、已知函数f(x)＝3sin2x＋2cos2x。（1）将f(x)的图像向右平移个单位长度，再将周期扩大一倍，得到函数12g(x)的图像，求g(x)的解析式；（2）求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间。
15、已知直线y＝2与函数f(x)?2sin2?x?23sin?xcos?x?1(??0)的图像的两个相邻交点之间的距离为π。 π（1）求f(x)的解析式，并求出f(x)的单调递增区间；（2）将函数f(x)的图像向左平移个单位长度得到函数g(x)
4的图像，求函数g(x)的最大值及g(x)取得最大值时x的取值集合。
16、已知复数z1?sinx??i，z2?m?(m?3cosx)i，?,m,x?R，且z1?z2。
（1）若λ＝0，且0?x??，求x的值；（2）设f(x)??cosx，求f(x)的最小正周期和单调递增区间。
课时作业(十九)A
【基础热身】
πππ
2x＋?，因为f??＝0，所以函数图象关于点?，0?中心对称，1．A [解析] 由已知，ω＝2，所以f(x)＝sin?3???3??3?故选A.
ππkππ
2．A [解析] 由2x＋＝kπ＋(k∈Z)得x＝＋(k∈Z)，
32212π
当k＝0时，x＝，故选A.
12
1
3．B [解析] 把图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，即周期变为原来的2倍，则ω变为原来的，
2
故选B.
2π
4．2 [解析] 摆球往复摆动一次所需的时间即为函数的周期，又函数S的周期为T＝＝2，故摆球往复摆
π
动一次所需要的时间是2秒．
【能力提升】
ππ?
5．B [解析] f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，则f(x)在??4，2?上是递减的，A错；f(x)的最小正周期为π，最大值为1，C、D错，故选B.
π1－cos2xx－?＝sin2x＝6．A [解析] y＝cos2?， ?2?22π
则最小正周期是T＝＝π，且是偶函数，故选A.
2
3π
7．C [解析] 根据“五点法”的规则知，x1，x2，x3，x4，x5依次成等差数列，所以x2＋x4＝x1＋x5＝，故
2
选C.
2ππ
8．C [解析] 由图象可知函数的最小正周期是8，根据最小正周期T＝可得ω＝，排除A、B，再根据
ω4
π
0≤φ≤2π且当x＝1时y＝1，可知φ＝，故选C.
4
πx＋?， 9．D [解析] 把函数解析式化为y＝sinx＋cosx＝2sin??4?πππ
x－?＝2sin??x－2?＋?，故选D. y＝sinx－cosx＝2sin??4??4???
1
10. [解析] 因为函数的相邻两对称轴之间距离或相邻两对称点之间距离是函数周期的一半，则有 2
T4π?2π?2π1＝－?－3?＝2π，故T＝4π，即＝4π，ω＝. 23ω2
π4ππ4x＋?＋2 [解析] 由题设得，A＝2，n＝2，ω＝4，且当x＝时，sin?π＋φ?＝±11．y＝2sin?1，则φ＝， 6???3?36
π
4x＋?＋2. ∴所求解析式为y＝2sin?6??
πππ2x＋?的最小正周期为π，则函数y＝?sin?2x＋??的最小正周期是；因12．①② [解析] 因为函数y＝sin?3?3?????2
3π3π3π
x－?＝cosx，则函数y＝sin?x－?在区间?π，?上单调递增； 为函数y＝sin?2??2??2??
5π5πkπ5π
2x＋?＝cos2x，由2x＝kπ，k∈Z，得x＝，k∈Z，则x＝不是函数y＝sin?2x＋?的图象函数y＝sin?2?2???24
的一条对称轴，故正确的命题是①②.
5ππ?13．y＝4sin??2x－2?(答案不唯一) [解析] 由散点图选用函数模型y＝Asin(ωx＋φ)，则A＝4，T＝0.8，
5π2π5π
x＋φ?， ∴ω＝＝，即y＝4sin??2?T2
把最高点坐标(0.4,4)代入解析式，得
5π?4＝4sin??2×0.4＋φ?，即sin(π＋φ)＝1， π
∴π＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
2
ππ
由五点作图法，可知π＋φ＝，即φ＝－，
22
5ππ?∴描述该物体的位移y和时间x之间的函数解析式为y＝4sin??2x－2?.
cos2x＋114．[解答] (1)依题意f(x)＝3sin2x＋2·
2
＝3sin2x＋cos2x＋1
π
2x＋?＋1， ＝2sin?6??
πππ
x－?＋?＋1＝2sin2x＋1的图象，该函数的将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数f1(x)＝2sin?2?12??12?6?
周期为π，若将其周期变为2π，则得g(x)＝2sinx＋1.
(2)函数f(x)的最小正周期为T＝π，
πππππ
当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)时，函数单调递增，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
26236
ππ
kπ－，kπ＋?(k∈Z)． ∴函数的单调递增区间为?36??
15．[解答] (1)f(x)＝2sin2ωx＋23sinωxcosωx－1
π2ωx－?， ＝1－cos2ωx＋3sin2ωx－1＝2sin?6??2π
由题意可知函数的最小正周期T＝＝π(ω>0)，所以ω＝1，
2ω
π2x－?， 所以f(x)＝2sin?6??πππππ
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋其中k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ＋，其中k∈Z，
26263
ππ
kπ－，kπ＋?，k∈Z. 即f(x)的递增区间为?63??
ππππ
x＋?＝2sin?2?x＋4?－?＝2sin?2x＋?， (2)g(x)＝f??6?3??4????
则g(x)的最大值为2，
ππ
2x＋?＝2，即sin?2x＋?＝1， 此时有2sin?3?3???πππ
即2x＋＝2kπ＋，其中k∈Z，解得x＝kπ＋，k∈Z，
3212
???π?x＝kπ＋，所以当g(x)取得最大值时x的取值集合为x?k∈Z?. 12??
【难点突破】
16．[解答] (1)当λ＝0时，由z1＝z2，得m＝sinx且m－3cosx＝0，
π
∴sinx－3cosx＝0，∴tanx＝3，∵0 ?m＝sinx， (2)由z1＝z2得?∴λ＝sinx－3cosx， ?λ＝m－3cosx， f(x)＝λcosx＝(sinx－3cosx)cosx ＝sinxcosx－3cosxcosx 13 ＝sin2x－(1＋cos2x) 22 π32x－?－， ＝sin?3?2? ∴f(x)的最小正周期T＝π； ππππ5π 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 2321212 π5π kπ－，kπ＋?，k∈Z ∴f(x)的单调递增区间是?1212?? 三角函数y?Asin(?x??)的图像与性质（二） ??1、已知函数f(x)?2sin(x??)(??)的图像经过点(0,1)，则该函数的最小正周期T和初相φ分别为（ ） 32ππππ （A）T＝6，φ＝ （B）T＝6，φ＝ （C）T＝6π，φ＝ （D）T＝6π，φ＝ 6363 π?2、将函数y?sin(2x?)的图像上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍长度，再向右平移个单位长度， 44所得到的图像解析式是（ ） （A）f(x)＝sinx （B）f(x)＝cosx （C）f(x)＝sin4x （D）f(x)＝cos4x ?3、已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A?0,??0,??)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式是（ ） 2??（A）f(x)?sin(3x?) （B）f(x)?sin(2x?) 36??（C）f(x)?sin(x?) （D）f(x)?sin(2x?) 33πx 4、有一种波，其波形为函数y＝sin的图像，若在区间[0,t](t?0)上至少有2个波峰（图像的最高点），则正整 2数t的最小值是 5、若函数f(x)?sin?x?cos?x(??0)的最小正周期为π，则它的图像的一个对称中心为（ ） ???（A）(?,0) （B）(,0) （C）(0,0) （D）(?,0) 488 ??6、已知函数f(x)?sin(x?)，g(x)?cos(x?)，则下列结论中正确的是（ ） 22（A）函数y＝f(x)·g(x)的周期为2 （B）函数y＝f(x)·g(x)的最大值为1 ππ （C）将f(x)的图像向左平移个单位后得到g(x)的图像 （D）将f(x)的图像向右平移个单位后得到g(x)的图像 22 ??7、设函数f(x)?2cos(x?)，若对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为（ ） 231 （A）4 （B）2 （C）1 （D） 2 8、设偶函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,0????)的部分图像如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML1＝90°，KL＝1，则f()的值为（ ） 6（A）?1133 （B）? （C）? （D） 4244π?9、将函数f(x)?sin(2x?)的图像向右平移个单位得函数g(x)的图像，再将g(x)的图像上的所有点的横坐标伸 63长为原来的2倍得到h(x)的图像，则g(x)与h(x)的解析式分别为（ ） ??（A）g(x)?sin(2x?)，h(x)?sin(x?) （B）g(x)?sin2x，h(x)?sinx 66??（C）g(x)?sin(2x?)，h(x)?sin(x?) （D）g(x)?sin2x，h(x)?sin4x 126