第三章 三角函数在实际生活中的应用
三角学的发展，由起源迄今差不多经历了三﹑四千年之久，在古代，由于古代天文学的需要，为了计算某些天体的运行行程问题，需要解一些球面三角形，在解球面三角形时，往往把解球面三角形的问题归结成解平面三角形，这些问题的积累便形成了所谓古代球面三角学﹑古代平面三角学；虽然古代球面三角学的发展早于古代平面三角学，但古代平面三角学却是古代球面三角学的发展基础。三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。它们本质上是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。由于三角函数具有周期性，所以并不具有单射函数意义上的反函数。三角函数在复数中有重要的应用，在物理学中也是常用的工具。由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。
在实际生活中，有许多周期现象可以用三角函数来模拟，如物理中简谐振动、交流电中的电流、潮汐等，都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决有关问题；很多最值问题都可以转化为三角函数来解决，如天气预报、建筑设计、航海、测量、国防中都能找到神奇的三角函数的影子。因而三角函数解决实际问题应用极广、渗透能力很强。
停车场设计问题
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如图ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中ATPN是一半径为90m的扇形小山，P是弧TN上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR，求长方形停车场PQCR面积的最大值和最小值。
分析：矩形PQCR的面积显然跟P的位置有关，连
延长RP交AB于M.若直接设RP的长度为x，则PM?100－x,在RtAPM中， AP，
AM?902?(100?x)2，从而得PQ?MB?100－902?(100?x)2，
·x，虽然可以得出函数关系，但是求解面积的最值S?（100－902?(100?x)2）比较复杂。不妨以角为变量建立函数关系。
（00???900），则解：如上添加辅助线，设?PAB??，AM?90?co,PM?90sin?，RP?RM－PM?100?90sin?PQ?MB?100－90cos?，?S?PQ·PR?（100－90cos?）（100－90sin?）?10000－9000（sin?? cos?）?8100 sin?cos?.设sin?? cos??t(1?t?2)，则
t2?110210sin?cos???950.故当t?时，Smin?950m2；。代入化简得S?（t－）299??当t?2时， Smax?14050－90002(m2)
通讯电缆铺设问题
如图，一条河宽km，两岸各有一座城市
A和B，A与B的直线距离是4km，今需铺设一条电
A θ 2
缆连A与B，已知地下电缆的修建费是2万元
C D B
/km，水下电缆的修建费是4万元/km，假定河岸是平行的直线（没有弯曲），问应如何铺设方可使总施工费用达到最少？
分析：设电缆为AD?DB时费用最少，因为河宽AC为定值，为了表示
AD和BD的长，不妨设?CAD??.
解：设?CAD??，则AD?sec?,CB?,BD?－tan?, （0???900） ∴总费用为
y?4 sec?－2tan??215=
4?2sin??215 cos?4?2sin?的最小值及相应的θ值，
cos?sin??2而u?－2?表示点P与点Q（cos?,sin?）（0，2）cos?1（0???900）斜率的－2倍，有图可得Q在单位圆周上运动，当直线PQ与圆弧
4?切于点Q时，u取到最小值。此时KPQ??3，∴ umin?23， ??。 即水下
6问题转化为求u?电缆应从距B城（15－23+215（万元）。
3）km处向A城铺设，图三因此此时总费用达最小值3注：本题在求u的最小值时，除了利用数结合的方法外，还可以利用三角函数的有界性等方法。 探索与思考：
1. 你能用其他方法解决上述两个实际问题吗？
2. 通过两个例子你能体会三角函数在生活中应用之大，从而体会学习数学的意义了吗？
食品包装问题
3
某糖果厂为了拓宽其产品的销售市场，决定对一种半径为1的糖果的外层包装进行设计。设计时要求同时满足如下条件：
（1）外包装要呈一封闭的圆锥形状；（2）为减少包装成本，要求所用材料最省；（3）为了方便携带，包装后每个糖果的体积最小。问：这些条件能同时满足吗？如果能，如何设计这个圆锥的底面半径和高？此时所用的外包装用料是多少？体积是多少？若不能，请说明理由。
分析：要求该圆锥的全面积和体积，需要知道它的下底面半径AC、母线PA及高PC，这些变量之间的关系可以通过一个“角”把它们联系起来。
解：如图，设?OAC??，则OC?1，下底面半径
A B
R?C
，高h?Rtan2?，??（0，）AC?R?cot?,母线长l?.cos2?4R1?1) ??cot2? 则S全??Rl??R2??R(?R)??R2(cos2?cos2?12?(+1)=; 1?tan2?tan2??(1?tan2?)1?tan2?112tg?111 ?R2h? ?R2· ?R3tg2?? ?ctg3?= V?Rtg2??331?tg2?333O P
?2
tg2?(1?tg2?)2时，能使S全和v同时取到最小值，此时2∴当且仅当tg2??1－tg2?,即tg??R?2，h?2，即当圆锥的下底面半径和高分别为2、2时能同时满足条件，
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8外包装用料是8?，体积是?。
3营救区域规划问题
如图，在南北方向直线延伸的湖岸上有一港口A，一机艇以60km/h的速度从A出发，30分钟后因故障而停在湖里，已知机艇出发后先按直线前进，以后又改成正东，但不知最初的方向和何时改变方向。如何去营救，用图示表示营救的区域。
分析：1.要表示出一个区域，一般可在直角坐标系中表示，所以应首先建立直角坐标系；2.题中涉及到方向问题，所以不妨用方向角θ作为变量来求解。
解：以A为原点，过A的南北方向直线为y轴建立直角坐标系，如图：设机艇的最初航向的方位角为θ，设OP方向前进m到达点P，然后向东前进n到达点Q发生故障而抛锚。则m?n?30,令点Q的坐标为， （x,y）?x?msin??n?则? ??[0，].
2?y?mcos?∴
2AQ?x2?y2?m2?n2?2mnsin??m2?n2?2mn?（m?n）?9002∵机艇中途东拐，∴x2?y2?900.…………① 又
msin(??∵x??(??y?s??m innc?4?x?y?30????②?
)?n?m?n?30,
（x,y）满足不等式组①和②的点Q所在的区域，按对称性知上图阴影区域所示。
探索与思考：
1.你能用其他方法解决上述两个实际问题吗？
2.通过两个例子你能体会三角函数在生活中应用之大，从而体会学习数学的意义了吗？
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