足球射门问题
在训练课上，教练问左前锋，若你得球后，沿平行于边线GC的直线EF助攻到前场（如图，设球门宽AB?a米，球门柱B到FE的距离BF?b米），那么你推进到距底线CD多少米时，为射门的最佳位置？（即射门角?APB最大时为射门的最佳位置）？请你帮助左前锋回答上述问题。 D 分析：本题中要求射门的最佳位置，题目中已对A 题意进行了明确，即只要当射门角最大时为最佳位B 置。所以设角后“求解角”的过程是本题的关键。 F C 若直接在非特殊APB中利用边来求?APB的
P E G 最值，显得比较繁琐，注意到?APB??APF－?BPF，而后两者都在Rt中，故可应用直角三角形的性质求解。
（?、?为锐角），解：如图，设FP?x，?APB??，?BPF??则?APF????，tg(???)?tg?? tg[(???)－?]?a?bx,tg??
bx,
tg(???)?tg?=
1?tg(???)?tg?a(a?b)?b。若令y?x?，
(a?b)?bxx?x则y?2x?(a?b)?b(a?b)?b=2(a?b)?b，当x?,即x?(a?b)?b时，y取到
xx最小值2(a?b)?b，从而可知x?(a?b)?b时，tg?取得最大值，即
tg??a时，?有最大值。故当P点距底线CD为(a?b)?b米时，为
2(a?b)?b 6
射门的最佳位置。依图像知，在白天的9—15时这个时间段可供冲浪爱好者进行冲浪运动。
点评：本例一开始也可直接建立余弦函数模型y?Acos?t?k。另外，模拟汉书中的少数点有误差是允许的。
最值问题
三角函数的最值问题不仅与三角自身的所有基础知识密切相关,而且与代数中的二次函数、一元二次方程、不等式及某些几何知识的联系也很密切。因此,三角函数的最值问题的求解,不仅需要用到三角函数的定义域、值域、单调性、图象以及三角函数的恒等变形,还经常涉及到函数、不等式、方程以及几何计算等众多知识。这类问题往往概念性较强,具有一定的综合性和灵活性。
100m的正方形地皮， 其中 如图，ABCD是一块边长为AST是一半径为AT?90m的扇形小山，其余部分都是平地。一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在弧ST上，相邻两边CQ，CR落在正方形的边
BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值。
解：设?PAB??, (00???900),延长RP交AB于M，
易得PQ?MB?AB?AM?100?90cos?， RP?RM—PM?100?90sin?， 从而S矩形PQCR?(100?90cos?)(100?90sin?)?10000?9000(sin??cos?)?8100sin?cos? 令t?sin??cos? ，(1?t?2)， 则S矩形PQCR10t2?1?4050(t?10)2?950，t?故当时，S矩形PQCR?10000?9000t?8100?992有最小值950m2；当t?2时，S矩形PQCR有最大值(14050?90002)m2
[思维点拔]引进变量?建立面积函数后，问题转化为求解三角函数的最值问题.
一条河宽1km，两岸各有一座城镇A和B，A与B的直线距离是4km，仅需在
A、B间铺设一条电缆。已知地下电缆的修建费是2万元/km，水下电缆的修建费是2万元/km。假设河的两岸呈平行线状，那么如何铺设电缆方可使总是费用达到最少？
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A
C D B
图九
解：如图所示，设过A点作对岸的垂线，垂足为C,若从A到C再到B的线路铺设电缆，虽然AC最短，但陆上线路BC太长并不合算。
设在BC之间取一点D,CD?x?km?, ?CAD??,则x?tan?,依题意知总施工费用y(万元)的函数关系式为
y?41?x2?2(15?x)
?41?tan??2(15?tan?),(0?tan??15)2
cos2??sin2?sin??y?4?2(15?)2cos? cos?
4?2sin?2?sin???215?2(?15),cos?cos?令u?2?sin?，则sin??ucos??2 cos?有sin(???)?|sin(???)|?1即22u?122 （1）
u?1?1，解得u?3
当u?3时，则tan??3,??由（ 1）知sin(???)?1即?????3,?2
????6时，ymin?2(3?15)?11.2(万元)
3)km,处的D点,再从3即先从B镇沿河岸铺设地下电缆至距离B镇(15?D点向A镇铺设水下电缆，可使得总施工费用最少，约为11.2万元。
把一段半径为R的圆木，锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法，才能使横截
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面积最大？
分析：如图所示：
设?CAB??，则AB?2Rcos?,CB?2Rsin?
S矩形ABCD?ABBC?2R2sin2??2R2D O A C
当且仅当sin2??1时，即
???24时，Smax?2R
θ B 所以在圆木的横截面上截取内接正方形时，才能使横截面积最大。 生活中的实际问题：
在这里提供这样一个生活中的问题，看看它们与三角函数的联系。（让学生探究解决）
在一住宅小区里，有一块空地，这块空地可能有这样三种情况： （1）是半径为10米的半圆；
（2）是半径为10米，圆心角为60的扇形； （3）是半径为10米，圆心角为120的扇形；
现要在这块空地里种植一块矩形的草皮，使得其一边在半径上，应如何设计，使得此草皮面积最大？并求出面积的最大值。
分析1：第一种情况，如图所示：连结OC， 设?BOC??，则BC?10sin?，OB?10cos?， AB?2OB?20cos?
S矩形?AB?BC?200sin?cos??100sin2? D C
sin2??1 ?S矩形?100
即 2??90，??45
E θ F 这时BO?AO?10cos45?52,BC?52 A O B
此时，点A、D分别位于点O的左右方52处时S取得最大值100。 分析2：第二种情况，连结OC，
设?BOC??，则BC?10sin?，OB?10cos?，
OA?BCcot60?103sin?3
E D C S矩形?AB?BC?(OB?OA)?BC ?(10cos??
103sin?)?10sin?3
10032sin?3θ O A B F ?100sin?cos?? ?50sin2??
503(1?cos2?)3
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1003?503sin(2??)?363
5032??Smax?m??sin(2??)?136时，6当且仅当时，即 ?分析3：如图所示：连结OB,
设?AOB??，则AB?10sin?，OA?10cos?，
E C O
θ B A D
S矩形?OA?AB?100sin?cos??50sin2?当且仅当sin2??1时，即例中的题的联系。
试试身手：(看谁做得快又准确)
???4时，
Smax?50学生发言完毕，老师总结，将每个同学的发言简单整理；引导学生分析此题与引
下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表（时间近似到0.1小时）
1日期 月1日 日期位置1 序号x 白昼时间y（小时） （I）以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在给定坐标系中画出这些数据的散点图；
（Ⅱ）试选用一个形如y?Asin(?x??)?t的函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系.[注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算]
（Ⅲ）用（Ⅱ）中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时.
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2月28 日 3月21 日 4月27 日 5月6 日 6月21 日 8月13 日 9月20 日 10月12月25日 21日 59 80 117 126 172 225 263 298 355 5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.4 8.5 5.4